الجبر الأمثلة

$\frac{x^{2}}{x - 3} = \frac{x + 2}{2 x - 5}$

خطوة 1

اضرب بسط الكسر الأول في قاسم الكسر الثاني. وعيّن قيمة الناتج بحيث تساوي حاصل ضرب قاسم الكسر الأول في بسط الكسر الثاني.

$x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $x^{2} (2 x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.1.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.1.2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.1.2.2.2

انقُل $- 5$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 x^{2} x - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

انقُل $x$ .

$2 (x \cdot x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{1 + 2} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 x^{3} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

$2 x^{3} - 5 x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

خطوة 2.2

بسّط $(x - 3) (x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وسّع $(x - 3) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x (x + 2) - 3 (x + 2)$

خطوة 2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)$

خطوة 2.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

خطوة 2.2.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

خطوة 2.2.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2$

خطوة 2.2.2.1.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 x - 3 x - 6$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $3 x$ من $2 x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} - x - 6$

خطوة 2.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} = - x - 6$

خطوة 2.3.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} + x = - 6$

خطوة 2.3.3

اطرح $x^{2}$ من $- 5 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x = - 6$

خطوة 2.4

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6 = 0$

خطوة 2.5

حلّل $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2.5.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

خطوة 2.5.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

خطوة 2.5.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

خطوة 2.5.3.3

اضرب $2$ في $8$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

خطوة 2.5.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 2 + 6$

خطوة 2.5.3.5

اضرب $- 6$ في $4$ .

$16 - 24 + 2 + 6$

خطوة 2.5.3.6

اطرح $24$ من $16$ .

$- 8 + 2 + 6$

خطوة 2.5.3.7

أضف $- 8$ و $2$ .

$- 6 + 6$

خطوة 2.5.3.8

أضف $- 6$ و $6$ .

$0$

خطوة 2.5.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6}{x - 2}$

خطوة 2.5.5

اقسِم $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$6$

خطوة 2.5.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

خطوة 2.5.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

خطوة 2.5.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

خطوة 2.5.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 2.5.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

خطوة 2.5.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

خطوة 2.5.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 2.5.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} + 4 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 2.5.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$

خطوة 2.5.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

خطوة 2.5.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

خطوة 2.5.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

خطوة 2.5.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 x + 6$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

خطوة 2.5.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

خطوة 2.5.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$2 x^{2} - 2 x - 3$

خطوة 2.5.6

اكتب $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$

خطوة 2.6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

خطوة 2.7

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.7.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.8

عيّن قيمة العبارة $2 x^{2} - 2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

عيّن قيمة $2 x^{2} - 2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

خطوة 2.8.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.8.2.2

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = - 2$ و $c = - 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.1.3

أضف $4$ و $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.1.4

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

خطوة 2.8.2.3.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

خطوة 2.8.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

خطوة 2.9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

خطوة 3

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 2, 1.82287565 \dots, - 0.82287565 \dots$