الجبر الأمثلة

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.2.4

اضرب $x$ في $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $23$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $23 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $23$ في $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.4

بما أن $- 216$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 216$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $2600$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2600}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

خطوة 1.5.4

اضرب $- 1$ في $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أضف $x + 23$ و $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.6.2.2

اجمع $- 2600$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

خطوة 1.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

خطوة 1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2600$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2600}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.9

اطرح $4$ من $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.2.10

اضرب $- 2$ في $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

خطوة 2.3

بما أن $23$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $23$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $5200$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

خطوة 2.4.2.2

أضف $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ و $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $2$ في $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $x$ في $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $23$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $23 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $23$ في $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 216$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 216$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

خطوة 4.1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

بما أن $2600$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2600}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 4.1.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

خطوة 4.1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

خطوة 4.1.5.4

اضرب $- 1$ في $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

خطوة 4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 4.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.1

أضف $x + 23$ و $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 4.1.6.2.2

اجمع $- 2600$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

خطوة 4.1.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

خطوة 4.1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

خطوة 5.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx 9.01216529$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2600}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 6.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 6.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 9.01216529$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 9.01216529$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارفع $9.01216529$ إلى القوة $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

خطوة 9.1.2

اقسِم $5200$ على $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

خطوة 9.2

أضف $7.10421175$ و $1$ .

$8.10421175$

خطوة 10

$x = 9.01216529$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 9.01216529$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 9.01216529$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9.01216529$ في العبارة.

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ارفع $9.01216529$ إلى القوة $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $0.5$ في $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

خطوة 11.2.1.3

اضرب $23$ في $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

خطوة 11.2.1.4

اقسِم $2600$ على $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

خطوة 11.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أضف $40.60956164$ و $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

خطوة 11.2.2.2

اطرح $216$ من $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

خطوة 11.2.2.3

أضف $31.88936342$ و $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13