الجبر الأمثلة

$\frac{x^{3} + x^{2} - 3}{x^{2} + 6 x - 7}$

خطوة 1

اقسِم باستخدام قسمة متعددات الحدود المطولة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$6 x$

$7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$6 x$

$7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x$

$x$

$x^{2}$

$6 x$

$7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$6 x$

$7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$5 x^{2}$

$7 x$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$6 x$

$7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$5 x^{2}$

$7 x$

$3$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 5 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

						$x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$6 x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$6 x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
							-	$5 x^{2}$	-	$30 x$	+	$35$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 5 x^{2} - 30 x + 35$

$x$

$5$

$x^{2}$

$6 x$

$7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$5 x^{2}$

$7 x$

$3$

$5 x^{2}$

$30 x$

$35$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$6 x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
							+	$5 x^{2}$	+	$30 x$	-	$35$
									+	$37 x$	-	$38$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$x - 5 + \frac{37 x - 38}{x^{2} + 6 x - 7}$

خطوة 2

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $x^{2} + 6 x - 7$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 7$ ومجموعهما $6$ .

$- 1, 7$

خطوة 2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{37 x - 38}{(x - 1) (x + 7)}$

خطوة 2.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

خطوة 2.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$

خطوة 2.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 1) (x + 7)$ .

$\frac{(37 x - 38) (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(37 x - 38) (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(37 x - 38) (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(37 x - 38) (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.6.2

اقسِم $37 x - 38$ على $1$ .

$37 x - 38 = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$37 x - 38 = \frac{A (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 7)$ على $1$ .

$37 x - 38 = (A) (x + 7) + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$37 x - 38 = A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.7.3

انقُل $7$ إلى يسار $A$ .

$37 x - 38 = A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$37 x - 38 = A x + 7 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 2.7.4.2

اقسِم $(B) (x - 1)$ على $1$ .

$37 x - 38 = A x + 7 A + (B) (x - 1)$

خطوة 2.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$37 x - 38 = A x + 7 A + B x + B \cdot - 1$

خطوة 2.7.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $B$ .

$37 x - 38 = A x + 7 A + B x - 1 \cdot B$

خطوة 2.7.7

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$37 x - 38 = A x + 7 A + B x - B$

خطوة 2.8

انقُل $7 A$ .

$37 x - 38 = A x + B x + 7 A - B$

خطوة 3

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$37 = A + B$

خطوة 3.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 38 = 7 A - 1 B$

خطوة 3.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$37 = A + B$

$- 38 = 7 A - 1 B$

$37 = A + B$

$- 38 = 7 A - 1 B$

خطوة 4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد قيمة $A$ في $37 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 37$ .

$A + B = 37$

$- 38 = 7 A - 1 B$

خطوة 4.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 37 - B$

$- 38 = 7 A - 1 B$

$A = 37 - B$

$- 38 = 7 A - 1 B$

خطوة 4.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $37 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $- 38 = 7 A - 1 B$ بـ $37 - B$ .

$- 38 = 7 (37 - B) - 1 B$

$A = 37 - B$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $7 (37 - B) - 1 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 38 = 7 \cdot 37 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 37 - B$

خطوة 4.2.2.1.1.2

اضرب $7$ في $37$ .

$- 38 = 259 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 37 - B$

خطوة 4.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$- 38 = 259 - 7 B - 1 B$

$A = 37 - B$

خطوة 4.2.2.1.1.4

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$- 38 = 259 - 7 B - B$

$A = 37 - B$

$- 38 = 259 - 7 B - B$

$A = 37 - B$

خطوة 4.2.2.1.2

اطرح $B$ من $- 7 B$ .

$- 38 = 259 - 8 B$

$A = 37 - B$

$- 38 = 259 - 8 B$

$A = 37 - B$

$- 38 = 259 - 8 B$

$A = 37 - B$

$- 38 = 259 - 8 B$

$A = 37 - B$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $B$ في $- 38 = 259 - 8 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $259 - 8 B = - 38$ .

$259 - 8 B = - 38$

$A = 37 - B$

خطوة 4.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $259$ من كلا المتعادلين.

$- 8 B = - 38 - 259$

$A = 37 - B$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $259$ من $- 38$ .

$- 8 B = - 297$

$A = 37 - B$

$- 8 B = - 297$

$A = 37 - B$

خطوة 4.3.3

اقسِم كل حد في $- 8 B = - 297$ على $- 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 8 B = - 297$ على $- 8$ .

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 297}{- 8}$

$A = 37 - B$

خطوة 4.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 297}{- 8}$

$A = 37 - B$

خطوة 4.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 297}{- 8}$

$A = 37 - B$

$B = \frac{- 297}{- 8}$

$A = 37 - B$

$B = \frac{- 297}{- 8}$

$A = 37 - B$

خطوة 4.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$B = \frac{297}{8}$

$A = 37 - B$

$B = \frac{297}{8}$

$A = 37 - B$

$B = \frac{297}{8}$

$A = 37 - B$

$B = \frac{297}{8}$

$A = 37 - B$

خطوة 4.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{297}{8}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 37 - B$ بـ $\frac{297}{8}$ .

$A = 37 - (\frac{297}{8})$

$B = \frac{297}{8}$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط $37 - (\frac{297}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

لكتابة $37$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$A = 37 \cdot \frac{8}{8} - \frac{297}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

خطوة 4.4.2.1.2

اجمع $37$ و $\frac{8}{8}$ .

$A = \frac{37 \cdot 8}{8} - \frac{297}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

خطوة 4.4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A = \frac{37 \cdot 8 - 297}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

خطوة 4.4.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.4.1

اضرب $37$ في $8$ .

$A = \frac{296 - 297}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

خطوة 4.4.2.1.4.2

اطرح $297$ من $296$ .

$A = \frac{- 1}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

$A = \frac{- 1}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

خطوة 4.4.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$A = - \frac{1}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

$A = - \frac{1}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

$A = - \frac{1}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

$A = - \frac{1}{8}$

$B = \frac{297}{8}$

خطوة 4.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - \frac{1}{8}, B = \frac{297}{8}$

خطوة 5

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $x - 5 + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$x - 5 + \frac{- \frac{1}{8}}{x - 1} + \frac{\frac{297}{8}}{x + 7}$