الجبر الأمثلة

$\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y^{2} - 18 y + 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ ومجموعهما $b = - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 9$ من $- 9 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 (y) + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 9$ في صورة $- 3$ زائد $- 6$

$\frac{2 (2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{2 ((2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{2 (y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 y - 3$ .

$\frac{2 ((2 y - 3) (y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{3} - 6 y^{2} + 9 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{3}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} - 6 y^{2} + 9 y}$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- 6 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + 9 y}$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $y$ من $9 y$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + y \cdot 9}$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y^{2} + y (- 6 y)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9}$

خطوة 1.1.3.5

أخرِج العامل $y$ من $y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 9)}$

خطوة 1.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 3^{2})}$

خطوة 1.1.4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

خطوة 1.1.4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}$

خطوة 1.1.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = y$ و $b = 3$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

اختزِل العبارة $\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

أخرِج العامل $y - 3$ من $2 (2 y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{y {(y - 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.5.2

أخرِج العامل $y - 3$ من $y {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

خطوة 1.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

خطوة 1.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (2 y - 3)}{y (y - 3)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$

خطوة 1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $y (y - 3)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.5.2

اقسِم $2 (2 y - 3)$ على $1$ .

$2 (2 y - 3) = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.7.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.8.1.2

اقسِم $A (y - 3)$ على $1$ .

$4 y - 6 = A (y - 3) + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y - 6 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.8.3

انقُل $- 3$ إلى يسار $A$ .

$4 y - 6 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 y - 6 = A y - 3 A + \frac{B (y (y - 3))}{y - 3}$

خطوة 1.8.4.2

اقسِم $(B) (y)$ على $1$ .

$4 y - 6 = A y - 3 A + (B) (y)$

$4 y - 6 = A y - 3 A + B y$

خطوة 1.9

انقُل $- 3 A$ .

$4 y - 6 = A y + B y - 3 A$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $y$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$4 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $y$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 6 = - 3 A$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $- 6 = - 3 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 3 A = - 6$ .

$- 3 A = - 6$

$4 = A + B$

خطوة 3.1.2

اقسِم كل حد في $- 3 A = - 6$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 A = - 6$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

خطوة 3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

خطوة 3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اقسِم $- 6$ على $- 3$ .

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $2$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $4 = A + B$ بـ $2$ .

$4 = (2) + B$

$A = 2$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $4 = 2 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 + B = 4$ .

$2 + B = 4$

$A = 2$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$B = 4 - 2$

$A = 2$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $2$ من $4$ .

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

خطوة 3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 2 A = 2$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = 2, A = 2$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{2}{y} + \frac{2}{y - 3}$