الجبر الأمثلة

$f (x) = x - 6 \sqrt{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6 \sqrt{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sqrt{x})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 6 \sqrt{x})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.1.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.1.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.1.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.1.2.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.1.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 1 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.1.2.10

اجمع $- 6$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.1.2.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.12

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.1.2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 1.2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 1.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.2.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.2.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 1.2.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 1.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 1.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 1.2.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 1.2.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 1.2.2.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 1.2.2.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

خطوة 1.2.2.13

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

خطوة 1.2.2.13.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 1.2.2.13.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 1.2.2.13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 1.2.2.13.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.13.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

خطوة 1.2.2.13.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

خطوة 1.2.2.13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 1.2.2.14

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 1.2.2.15

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f'' (x) = 0 + 3 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 1.2.2.16

اجمع $3$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $3 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم يمكن أن تجعل المشتق الثاني مساويًا لـ $0$ .

لا توجد نقاط انقلاب