الجبر الأمثلة

$y = \sqrt{x (x + 6)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x (x + 6)}$ في صورة ${(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x (x + 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x (x + 6)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x (x + 6)$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${(x (x + 6))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x + 6)]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 6$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x + 6) \cdot 1)$

خطوة 4.8.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.6.1

اضرب $x + 6$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (x + x + 6)$

خطوة 4.8.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{1}{2 {(x (x + 6))}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

خطوة 4.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

طبّق قاعدة الضرب على $x (x + 6)$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})} (2 x + 6)$

خطوة 4.9.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ .

$(2 x + 6) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.3

اضرب $2 x + 6$ في $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.5

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.7.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.9.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + 3)}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.9.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 3}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$