الجبر الأمثلة

$\frac{j^{2} + 2 j}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $j$ من $j^{2} + 2 j$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $j$ من $j^{2}$ .

$\frac{j \cdot j + 2 j}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $j$ من $2 j$ .

$\frac{j \cdot j + j \cdot 2}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $j$ من $j \cdot j + j \cdot 2$ .

$\frac{j (j + 2)}{j^{2} + 9 j + 14} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

خطوة 1.2

حلّل $j^{2} + 9 j + 14$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $14$ ومجموعهما $9$ .

$2, 7$

خطوة 1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

خطوة 1.3

اختزِل العبارة $\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{j (j + 2)}{(j + 2) (j + 7)} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{j^{2} - 49} = - 10$

خطوة 1.4

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{j^{2} - 7^{2}} = - 10$

خطوة 1.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = j$ و $b = 7$ .

$\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$j + 7, (j + 7) (j - 7), 1$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $j + 7$ هو $j + 7$ نفسها.

$(j + 7) = j + 7$

تحدث $(j + 7)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $j - 7$ هو $j - 7$ نفسها.

$(j - 7) = j - 7$

تحدث $(j - 7)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $j + 7, j + 7, j - 7$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(j + 7) (j - 7)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$ في $(j + 7) (j - 7)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{j}{j + 7} + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} = - 10$ في $(j + 7) (j - 7)$ .

$\frac{j}{j + 7} ((j + 7) (j - 7)) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $j + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{j}{j + 7} ((j + 7) (j - 7)) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$j (j - 7) + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$j \cdot j + j \cdot - 7 + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $j$ في $j$ .

$j^{2} + j \cdot - 7 + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.2.1.4

انقُل $- 7$ إلى يسار $j$ .

$j^{2} - 7 \cdot j + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $(j + 7) (j - 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$j^{2} - 7 j + \frac{1}{(j + 7) (j - 7)} ((j + 7) (j - 7)) = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 ((j + 7) (j - 7))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $(j + 7) (j - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j (j - 7) + 7 (j - 7))$

خطوة 3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 (j - 7))$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 j + 7 \cdot - 7)$

خطوة 3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $j \cdot j + j \cdot - 7 + 7 j + 7 \cdot - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $j \cdot - 7$ و $7 j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j - 7 j + 7 j + 7 \cdot - 7)$

خطوة 3.3.2.1.2

أضف $- 7 j$ و $7 j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + 0 + 7 \cdot - 7)$

خطوة 3.3.2.1.3

أضف $j \cdot j$ و $0$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j \cdot j + 7 \cdot - 7)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اضرب $j$ في $j$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j^{2} + 7 \cdot - 7)$

خطوة 3.3.2.2.2

اضرب $7$ في $- 7$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 (j^{2} - 49)$

خطوة 3.3.2.3

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 j^{2} - 10 \cdot - 49$

خطوة 3.3.2.3.2

اضرب $- 10$ في $- 49$ .

$j^{2} - 7 j + 1 = - 10 j^{2} + 490$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $j$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أضف $10 j^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$j^{2} - 7 j + 1 + 10 j^{2} = 490$

خطوة 4.1.2

أضف $j^{2}$ و $10 j^{2}$ .

$11 j^{2} - 7 j + 1 = 490$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $490$ من كلا المتعادلين.

$11 j^{2} - 7 j + 1 - 490 = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $490$ من $1$ .

$11 j^{2} - 7 j - 489 = 0$

خطوة 4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.4

عوّض بقيم $a = 11$ و $b = - 7$ و $c = - 489$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $j$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (11 \cdot - 489)}}{2 \cdot 11}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11 \cdot - 489}}{2 \cdot 11}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 11 \cdot - 489$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $11$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44 \cdot - 489}}{2 \cdot 11}$

خطوة 4.5.1.2.2

اضرب $- 44$ في $- 489$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 21516}}{2 \cdot 11}$

خطوة 4.5.1.3

أضف $49$ و $21516$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{21565}}{2 \cdot 11}$

خطوة 4.5.2

اضرب $2$ في $11$ .

$j = \frac{7 \pm \sqrt{21565}}{22}$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$j = \frac{7 + \sqrt{21565}}{22}, \frac{7 - \sqrt{21565}}{22}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$j = \frac{7 + \sqrt{21565}}{22}, \frac{7 - \sqrt{21565}}{22}$

الصيغة العشرية:

$j = 6.99319381 \dots, - 6.35683017 \dots$