الجبر الأمثلة

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين ${\displaystyle (\sqrt{1^2-u^2},u)}$ و${\displaystyle (\sqrt{1^2-u^2},0)}$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، ${\displaystyle {\sin }^{-1}\left(u\right)}$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر ${\displaystyle (\sqrt{1^2-u^2},u)}$. إذن، ${\displaystyle \cos \left({\sin }^{-1}\left(u\right)\right)}$ تساوي ${\displaystyle \sqrt{1-u^2}}$.

أعِد كتابة ${\displaystyle 1}$ بالصيغة ${\displaystyle 1^2}$.

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، ${\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$ حيث ${\displaystyle a=1}$ و${\displaystyle b=u}$.

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين ${\displaystyle (1,v)}$ و${\displaystyle (1,0)}$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، ${\displaystyle {\tan }^{-1}\left(v\right)}$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر ${\displaystyle (1,v)}$. إذن، ${\displaystyle \cos \left({\tan }^{-1}\left(v\right)\right)}$ تساوي ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+v^2}}}$.

اضرب ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+v^2}}}$ في ${\displaystyle \frac{\sqrt{1+v^2}}{\sqrt{1+v^2}}}$.

جمّع وبسّط القاسم.

اضرب ${\displaystyle \sqrt{(1+u)(1-u)}\frac{\sqrt{1+v^2}}{1+v^2}}$.

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين ${\displaystyle (1,v)}$ و${\displaystyle (1,0)}$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، ${\displaystyle {\tan }^{-1}\left(v\right)}$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر ${\displaystyle (1,v)}$. إذن، ${\displaystyle \sin \left({\tan }^{-1}\left(v\right)\right)}$ تساوي ${\displaystyle \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}}$.

اضرب ${\displaystyle \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}}$ في ${\displaystyle \frac{\sqrt{1+v^2}}{\sqrt{1+v^2}}}$.

جمّع وبسّط القاسم.

اجمع ${\displaystyle \frac{v\sqrt{1+v^2}}{1+v^2}}$ و${\displaystyle u}$.