الجبر الأمثلة

${(1 - 2 x)}^{n}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{n}$ و $g (x) = 1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - 2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{n}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = n$ .

$f' (x) = n u^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 x$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

خطوة 1.2.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \cdot 1)$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \cdot - 2$

خطوة 1.2.6.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ .

$f' (x) = - 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 2 n$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 n \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 1}]$ .

$f'' (x) = - 2 n \frac{d}{d x} {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{n - 1}$ و $g (x) = 1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n (\frac{d}{d u} (u^{n - 1}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = n - 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) u^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

خطوة 2.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

خطوة 2.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \cdot 1)$

خطوة 2.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $n - 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$

خطوة 2.3.8.2

أعِد ترتيب عوامل $4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$ .

$f'' (x) = 4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4 n (n - 1)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 n (n - 1) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 2}]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 2})$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{n - 2}$ و $g (x) = 1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) (\frac{d}{d u} (u^{n - 2}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = n - 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) u^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $1$ من $- 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

خطوة 3.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

خطوة 3.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

خطوة 3.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

خطوة 3.3.6

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \cdot 1)$

خطوة 3.3.8

اضرب $n - 2$ في $1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f''' (x) = (- 8 n \cdot n - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

خطوة 3.4.2.2

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

خطوة 3.4.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f''' (x) = (- 8 n^{1 + 1} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

خطوة 3.4.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب عوامل $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$ .

$f''' (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق ${(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 3}]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 3})$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{n - 3}$ و $g (x) = 1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (\frac{d}{d u} (u^{n - 3}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = n - 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) u^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $1$ من $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

خطوة 4.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

خطوة 4.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

خطوة 4.3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

خطوة 4.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \cdot 1))$

خطوة 4.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \cdot - 2)$

خطوة 4.3.7.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $(n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (- 2 \cdot ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}))$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n - 2 \cdot - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

خطوة 4.4.2

اضرب $- 2$ في $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

خطوة 4.4.3

أعِد ترتيب عوامل $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 n + 6) (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$