الجبر الأمثلة

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 0.5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $0.5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $0.5 x$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $0.5$ في $1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.2.5

انقُل $0.5$ إلى يسار $e^{0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $64 e^{- 0.5 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 0.5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $- 0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 0.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $- 0.5$ في $1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

خطوة 1.1.3.6

انقُل $- 0.5$ إلى يسار $e^{- 0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

خطوة 1.1.3.7

اضرب $- 0.5$ في $64$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

خطوة 2.2

انقُل $- 32 e^{- 0.5 x}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافتها إلى كلا الطرفين.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

خطوة 2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

خطوة 2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ بالصيغة $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

خطوة 2.4.2

وسّع $\ln (e^{0.5 x})$ بنقل $0.5 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

خطوة 2.4.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

خطوة 2.4.4

اضرب $0.5$ في $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

خطوة 2.5

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $\ln (32 e^{- 0.5 x})$ بالصيغة $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

خطوة 2.5.2

وسّع $\ln (e^{- 0.5 x})$ بنقل $- 0.5 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

خطوة 2.5.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

خطوة 2.5.4

اضرب $- 0.5$ في $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

خطوة 2.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

خطوة 2.7

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

خطوة 2.8

اقسِم $0.5$ على $32$ .

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

خطوة 2.9

اطرح $0.5 x$ من $- 0.5 x$ .

$\ln (0.015625) = - 1 x$

خطوة 2.10

بما أن $x$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

خطوة 2.11

اقسِم كل حد في $- 1 x = \ln (0.015625)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

اقسِم كل حد في $- 1 x = \ln (0.015625)$ على $- 1$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2.1.2

أخرِج العامل $1$ من $- 1 (1) x$ .

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.2.1

أعِد كتابة $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ بالصيغة $- (- 1 \cdot 1 x)$ .

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2.3

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.2.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

خطوة 2.11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

خطوة 2.11.3.2

اقسِم $\ln (0.015625)$ على $1$ .

$x = - \ln (0.015625)$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \ln (0.015625)$ .

$- \ln (0.015625)$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ هو $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \ln (0.015625))$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.15888308$ في العبارة.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $0.5$ في $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $0.5$ في $e^{1.57944154}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 0.5$ في $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

خطوة 5.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

خطوة 5.2.1.5

اجمع $- 32$ و $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

خطوة 5.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

خطوة 5.2.1.7

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

خطوة 5.2.1.8

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $1.57944154$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

خطوة 5.2.1.9

اقسِم $32$ على $4.85224527$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

خطوة 5.2.1.10

اضرب $- 1$ في $6.59488508$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

خطوة 5.2.2

اطرح $6.59488508$ من $2.42612263$ .

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.16876244$ .

$- 4.16876244$

خطوة 5.3

المشتق في $x = 3.15888308$ هو $- 4.16876244$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \ln (0.015625))$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \ln (0.015625))$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \ln (0.015625), \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5.15888308$ في العبارة.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $0.5$ في $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $0.5$ في $e^{2.57944154}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 0.5$ في $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

خطوة 6.2.1.5

اجمع $- 32$ و $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

خطوة 6.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

خطوة 6.2.1.7

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

خطوة 6.2.1.8

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $2.57944154$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

خطوة 6.2.1.9

اقسِم $32$ على $13.18977016$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

خطوة 6.2.1.10

اضرب $- 1$ في $2.42612263$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

خطوة 6.2.2

اطرح $2.42612263$ من $6.59488508$ .

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $4.16876244$ .

$4.16876244$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 5.15888308$ هو $4.16876244$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \ln (0.015625), \infty)$ .

تزايد خلال $(- \ln (0.015625), \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \ln (0.015625), \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

خطوة 8