الجبر الأمثلة

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} (t^{8} \ln (t))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{8}$ و $g (t) = \ln (t)$ .

$t^{8} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{t}$ .

$t^{8} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $t^{8}$ و $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{8}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $t^{8}$ و $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{8}$ .

$\frac{t \cdot t^{7}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{t \cdot t^{7}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3.2.2.2

أخرِج العامل $t$ من $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot t^{7}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t \cdot t^{7}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t^{7}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3.2.2.5

اقسِم $t^{7}$ على $1$ .

$t^{7} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{8}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$t^{7} + \ln (t) (8 t^{7})$

خطوة 1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (t) = t^{7} + 8 t^{7} \ln (t)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{7} + 8 t^{7} \ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [8 t^{7} \ln (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [8 t^{7} \ln (t)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$7 t^{6} + \frac{d}{d t} [8 t^{7} \ln (t)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [8 t^{7} \ln (t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t^{7} \ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t^{7} \ln (t)]$ .

$7 t^{6} + 8 \frac{d}{d t} [t^{7} \ln (t)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{7}$ و $g (t) = \ln (t)$ .

$7 t^{6} + 8 (t^{7} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{7}])$

خطوة 2.2.3

مشتق $\ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{t}$ .

$7 t^{6} + 8 (t^{7} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{7}])$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$7 t^{6} + 8 (t^{7} \frac{1}{t} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.2.5

اجمع $t^{7}$ و $\frac{1}{t}$ .

$7 t^{6} + 8 (\frac{t^{7}}{t} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $t^{7}$ و $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{7}$ .

$7 t^{6} + 8 (\frac{t \cdot t^{6}}{t} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$7 t^{6} + 8 (\frac{t \cdot t^{6}}{t^{1}} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.2.6.2.2

أخرِج العامل $t$ من $t^{1}$ .

$7 t^{6} + 8 (\frac{t \cdot t^{6}}{t \cdot 1} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.2.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$7 t^{6} + 8 (\frac{t \cdot t^{6}}{t \cdot 1} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.2.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$7 t^{6} + 8 (\frac{t^{6}}{1} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.2.6.2.5

اقسِم $t^{6}$ على $1$ .

$7 t^{6} + 8 (t^{6} + \ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 t^{6} + 8 t^{6} + 8 (\ln (t) (7 t^{6}))$

خطوة 2.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $7$ في $8$ .

$7 t^{6} + 8 t^{6} + 56 (\ln (t) (t^{6}))$

خطوة 2.3.2.2

أضف $7 t^{6}$ و $8 t^{6}$ .

$15 t^{6} + 56 \ln (t) t^{6}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (t) = 15 t^{6} + 56 t^{6} \ln (t)$