الجبر الأمثلة

$y = x \sqrt{2 - x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 - x^{2}}$ في صورة ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.8.3

انقُل ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.11

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.14.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.14.2

اجمع $- 2$ و $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.14.3

اجمع $\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.18

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.19

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.20.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.20.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.20.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.1.1.22

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 2.1.1.23

اضرب ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.1.1.24

لكتابة ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.26

اضرب ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ في ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.26.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.26.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.26.3

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.26.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.27

بسّط ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.28

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.1.29

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = - 2 x^{2} + 2$ و $g (x) = {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.4.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.4.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.4.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.4.6

أضف $- 4 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = - x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{{(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.10.3

انقُل ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.14

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.15

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.16

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.16.1

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.16.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.16.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.16.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.17

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.17.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.19

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.20

اضرب $- 2 x^{2} + 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.2

اضرب $- 2 x^{2} + 2$ في $\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (1)) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.3.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.3.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.4

لكتابة $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.5

اجمع $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ و $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7

أعِد كتابة $\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.7.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.7.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $2 (1 + x) (1 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.7.2.1

اضرب ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.7.2.1.1

انقُل ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.2.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.7.2.2

بسّط $- 2 {(- x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.4

وسّع $(1 + x) (1 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.8.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1.2

اضرب $- x$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1.5.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.2

أضف $- x$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.5.3

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.6

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.1.8.7

أضف $- 4$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.2.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$ في صورة حاصل ضرب.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2.21.2.2

اضرب $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{- x^{2} + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

خطوة 2.1.2.21.2.3

اضرب ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في $- x^{2} + 2$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.2.3.1

اضرب ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في $- x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.21.2.3.1.1

ارفع $- x^{2} + 2$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

خطوة 2.1.2.21.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 2.1.2.21.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 2.1.2.21.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 2.1.2.21.2.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 2.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 2.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 2.2.3.3.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 2.2.3.3.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 2.2.3.3.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 2.2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x^{2} - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 2.2.4

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ صحيحة.

$x = 0$

خطوة 3

أوجِد نطاق $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 - x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 - x^{2} \geq 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $2$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 2$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 2$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

خطوة 3.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{2}$

خطوة 3.2.5

اكتب $| x | \leq \sqrt{2}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 3.2.5.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq \sqrt{2}$

خطوة 3.2.5.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 3.2.5.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

خطوة 3.2.5.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 3.2.6

أوجِد التقاطع بين $x \leq \sqrt{2}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 3.2.7

أوجِد حل $- x \leq \sqrt{2}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{2}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 3.2.7.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 3.2.7.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 3.2.7.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

خطوة 3.2.7.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{2}$ بالصيغة $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

خطوة 3.2.7.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - \sqrt{2}$ و $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

خطوة 3.2.8

أوجِد اتحاد الحلول.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

خطوة 3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

ترميز الفترة:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$[- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}]$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $[- \sqrt{2}, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{((- 1) {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2.2.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2.2.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 1$ و $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{1}$

خطوة 5.2.3.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{1}$

خطوة 5.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (- 1) = \frac{4}{1}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$f'' (- 1) = 4$

خطوة 5.2.5

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $[- \sqrt{2}, 0)$ لأن $f'' (- 1)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $[- \sqrt{2}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \sqrt{2}]$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{(- {(1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 1$ و $2$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1}$

خطوة 6.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{1}$

خطوة 6.2.3.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{1}$

خطوة 6.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (1) = \frac{- 4}{1}$

خطوة 6.2.4.2

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$f'' (1) = - 4$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(0, \sqrt{2}]$ لأن $f'' (1)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(0, \sqrt{2}]$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $[- \sqrt{2}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(0, \sqrt{2}]$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8