الجبر الأمثلة

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب الأُسس في ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16}]$

خطوة 1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))}]$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)}]$

خطوة 1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{x \cdot 4}]$

خطوة 1.1.3

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = {1.25}^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $1.25$ .

${1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \cdot 1)$

خطوة 1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \cdot 4$

خطوة 1.3.3.2

انقُل $4$ إلى يسار ${1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ .

$f' (x) = 4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4 \ln (1.25)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$ .

$4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

خطوة 2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$4 \ln (1.25) (\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $1.25$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.3

ارفع $\ln (1.25)$ إلى القوة $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.4

ارفع $\ln (1.25)$ إلى القوة $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln^{1} (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 ({1.25}^{4 x} {\ln (1.25)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8

اضرب $4$ في $4$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \cdot 1$

خطوة 2.10

اضرب $16$ في $1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25)$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$ .

$16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$