الجبر الأمثلة

$5 x + 4 y = 8$ , $6 x - 3 y = 33$

خطوة 1

أوجِد $A X = B$ من سلسلة المعادلات.

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد معكوس مصفوفة المعامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد معكوس المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ حيث إن $a d - b c$ هي المحدد.

خطوة 2.2

أوجِد المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 3 - 6 \cdot 4$

خطوة 2.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $5$ في $- 3$ .

$- 15 - 6 \cdot 4$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $- 6$ في $4$ .

$- 15 - 24$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $24$ من $- 15$ .

$- 39$

خطوة 2.3

بما أن المحدد ليس صفريًا، إذن يوجد معكوس.

خطوة 2.4

عوّض بالقيم المعروفة في قاعدة المعكوس.

$\frac{1}{- 39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.6

اضرب $- \frac{1}{39}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{39}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.1.2

أخرِج العامل $3$ من $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.1.3

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.1.5

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{13} \cdot - 1 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.2

اجمع $\frac{- 1}{13}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.4

اضرب $- \frac{1}{39} \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & 4 (\frac{1}{39}) \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{39}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.5.2

أخرِج العامل $3$ من $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.5.3

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{13} \cdot - 2 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.6

اجمع $\frac{- 1}{13}$ و $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- - 2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.7

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.8

اضرب $- \frac{1}{39} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.8.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - 5 (\frac{1}{39}) \end{array}]$

خطوة 2.7.8.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & \frac{- 5}{39} \end{array}]$

خطوة 2.7.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}]$

خطوة 3

اضرب من اليسار كلا طرفي معادلة المصفوفة في المصفوفة المعكوسة.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

خطوة 4

أي مصفوفة مضروبة في معكوسها تساوي $1$ طوال الوقت. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

خطوة 5

اضرب $[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية فقط. في هذه الحالة، المصفوفة الأولى هي $2 \times 2$ والمصفوفة الثانية هي $2 \times 1$ .

خطوة 5.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} \cdot 8 + \frac{4}{39} \cdot 33 \\ \frac{2}{13} \cdot 8 - \frac{5}{39} \cdot 33 \end{array}]$

خطوة 5.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

خطوة 6

بسّط الطرفين الأيسر والأيمن.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

خطوة 7

أوجِد الحل.

$x = 4$

$y = - 3$