الجبر الأمثلة

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{2}{5}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{2}{5}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = 2$ و $r = \frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

خطوة 4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

خطوة 5

اضرب $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $2$ و $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $2^{n - 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $2^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

خطوة 5.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + n - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $n$ و $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

خطوة 6

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 7

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{4}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.3

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.5

اجمع $- 1$ و $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اضرب $- 1$ في $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.7.2

اطرح $625$ من $16$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 8.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

خطوة 9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

خطوة 9.2

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

خطوة 9.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

خطوة 9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

خطوة 9.4.2

اطرح $5$ من $2$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

خطوة 9.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

خطوة 10

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

خطوة 11

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

خطوة 12

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $3$ من $609$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $5$ من $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

خطوة 14

اضرب $2 (\frac{203}{125})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $2$ و $\frac{203}{125}$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

خطوة 14.2

اضرب $2$ في $203$ .

$S_{4} = \frac{406}{125}$