الجبر الأمثلة

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

خطوة 1

عيّن المعادلة الوسطية لـ $x (t)$ لإيجاد قيمة $t$ في المعادلة.

$x = h + r \cos (t)$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $h + r \cos (t) = x$ .

$h + r \cos (t) = x$

خطوة 3

اطرح $h$ من كلا المتعادلين.

$r \cos (t) = x - h$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $r \cos (t) = x - h$ على $r$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $r \cos (t) = x - h$ على $r$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\cos (t)$ على $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

خطوة 5

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل جيب التمام.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

خطوة 6

استبدِل $t$ في المعادلة بـ $y$ للحصول على المعادلة من حيث $x$ .

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

خطوة 7

احذِف الأقواس.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

خطوة 8

بسّط $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ و $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ . إذن، $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ تساوي $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

خطوة 8.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

خطوة 8.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.4.2

اضرب $- - \frac{h}{r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.4.2.2

اضرب $\frac{h}{r}$ في $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.8.1

انقُل $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.8.2

أعِد ترتيب $r$ و $- h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.9

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

خطوة 8.1.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

خطوة 8.1.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.12.1

انقُل $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

خطوة 8.1.12.2

أعِد ترتيب $r$ و $h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

خطوة 8.1.13

اضرب $\frac{- h + r + x}{r}$ في $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

خطوة 8.1.14

اضرب $r$ في $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

خطوة 8.1.15

أعِد كتابة $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.15.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(- h + r + x) (h + r - x)$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

خطوة 8.1.15.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $r^{2}$ من $r^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

خطوة 8.1.15.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

خطوة 8.1.16

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

خطوة 8.1.17

اجمع $\frac{1}{r}$ و $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

خطوة 8.1.18

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.18.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

خطوة 8.1.18.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

خطوة 8.2

أعِد ترتيب $k$ و $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$