الجبر الأمثلة

${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ بالصيغة $e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{d}{d n} [e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})$ بنقل $n$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d n} [e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ هو $f' (g (n)) g' (n)$ حيث $f (n) = e^{n}$ و $g (n) = n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ هو $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ حيث $f (n) = n$ و $g (n) = \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{1}{n})] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ هو $f' (g (n)) g' (n)$ حيث $f (n) = \ln (n)$ و $g (n) = 1 + \frac{1}{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$ و $n$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{1}{n}$ بالنسبة إلى $n$ هو $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 5.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $n$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $n$ هو $0$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $0$ و $\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{n}$ بالصيغة $n^{- 1}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو $n \cdot n^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 5.6

اجمع $\frac{n}{1 + \frac{1}{n}}$ و $n^{- 2}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 6

اضرب $n$ في $n^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $n$ في $n^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1} n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1 - 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{- 1}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 7

انقُل $n^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو $n \cdot n^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)$

خطوة 9

اضرب $\ln (1 + \frac{1}{n})$ في $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}))$

خطوة 10

لكتابة $\ln (1 + \frac{1}{n})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

خطوة 11

اجمع $\ln (1 + \frac{1}{n})$ و $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

خطوة 12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

خطوة 13

اجمع $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ و $\frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1.1.1

اضرب $n$ في $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + 1))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.1.3

اضرب $\ln (1 + \frac{1}{n})$ في $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \cdot - 1 + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.4

أعِد كتابة $- 1 e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ بالصيغة $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.3.5

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اضرب $n$ في $1$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{1}{n} n}$

خطوة 14.4.2

اجمع $\frac{1}{n}$ و $n$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

خطوة 14.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

خطوة 14.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + 1}$

خطوة 14.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} n \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) - e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}}{n + 1}$