الجبر الأمثلة

$\frac{3}{2}$ , $\frac{15}{4}$ , $\frac{75}{8}$ , $\frac{375}{16}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{5}{2}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{5}{2}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = \frac{3}{2}$ و $r = \frac{5}{2}$ .

$a_{n} = \frac{3}{2} {(\frac{5}{2})}^{n - 1}$

خطوة 4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$a_{n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

خطوة 5

اجمع.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

خطوة 6

اضرب $2$ في $2^{n - 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2$ في $2^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

خطوة 6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

خطوة 6.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + n - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

خطوة 6.2.2

أضف $n$ و $0$ .

$a_{n} = \frac{3 \cdot 5^{n - 1}}{2^{n}}$

خطوة 7

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 8

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\frac{5}{2})}^{4} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{5^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9.2

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{2^{4}} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9.5

اجمع $- 1$ و $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

اضرب $- 1$ في $16$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{625 - 16}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 9.7.2

اطرح $16$ من $625$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1}$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 10.2

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 10.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 10.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{5 - 2}{2}}$

خطوة 10.4.2

اطرح $2$ من $5$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{609}{16}}{\frac{3}{2}}$

خطوة 11

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{609}{16} \cdot \frac{2}{3})$

خطوة 12

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $3$ من $609$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 (203)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 203}{16} \cdot \frac{2}{3})$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{16} \cdot 2)$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 (8)} \cdot 2)$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{203}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$

خطوة 14

اضرب $\frac{3}{2} \cdot \frac{203}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{203}{8}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 203}{2 \cdot 8}$

خطوة 14.2

اضرب $3$ في $203$ .

$S_{4} = \frac{609}{2 \cdot 8}$

خطوة 14.3

اضرب $2$ في $8$ .

$S_{4} = \frac{609}{16}$