الجبر الأمثلة

$1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{2}{3}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{2}{3}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = 1$ و $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

خطوة 4

اضرب ${(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ في $1$ .

$a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

خطوة 5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

خطوة 6

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 7

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

خطوة 8

اضرب $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ في $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

خطوة 9

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

خطوة 9.2

اجمع.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{2}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{2}{3} - 1)}$

خطوة 10

طبّق خاصية التوزيع.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

خطوة 11

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

خطوة 11.2

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{\frac{2^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.6

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.7

اجمع $- 3$ و $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.1

اضرب $- 3$ في $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 81}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.9.2

اطرح $81$ من $16$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 12.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

خطوة 13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 - 3}$

خطوة 13.2

اطرح $3$ من $2$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{- 1}$

خطوة 14

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{4} = \frac{\frac{65}{27}}{1}$

خطوة 14.2

اقسِم $\frac{65}{27}$ على $1$ .

$S_{4} = \frac{65}{27}$