الجبر الأمثلة

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيسر.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

خطوة 2

حوّل إلى الجيوب وجيوب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اكتب $\tan (x)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\tan (x) - 1}$

خطوة 2.2

اكتب $\tan (x)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب بسط الكسر وقاسمه في ${\cos (x)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $\frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$ في $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

خطوة 3.1.2

اجمع.

$\frac{{\cos (x)}^{3} (\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1)}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.3

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${\cos (x)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من ${\cos (x)}^{3}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ بالصيغة ${(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = \sin (x)$ و $b = \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cos (x)$ بالصيغة $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- 1 \cdot \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.4

أعِد كتابة $- 1 \cos (x)$ بالصيغة $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.5

اضرب $- \sin (x) (- \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + 1 \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.5.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1 \cdot \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.7

أعِد كتابة $- 1 \cos (x)$ بالصيغة $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.8

طبّق قاعدة الضرب على $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1)}^{2} {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + 1 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.4.3.10

اضرب ${\cos (x)}^{2}$ في $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

خطوة 3.5.1.2

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)}$

خطوة 3.5.1.3

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1)}$

خطوة 3.5.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - 1 \cdot \cos (x))}$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة $- 1 \cos (x)$ بالصيغة $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - \cos (x))}$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 5

أعِد كتابة $\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة $\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

خطوة 6

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ هي متطابقة