الجبر الأمثلة

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

خطوة 1

أوجِد كل معادلة سطح مستوٍ بالصيغة القياسية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لكتابة $\frac{x + 3}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.2

لكتابة $\frac{y - 1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $\frac{x + 3}{4}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $\frac{y - 1}{3}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.5.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.5.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.5.5

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.5.6

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.1.5.7

اطرح $4$ من $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

خطوة 1.2

قسّم الكسر $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ إلى كسرين.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.3

قسّم الكسر $\frac{3 x + 4 y}{12}$ إلى كسرين.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

خطوة 1.6

اطرح $\frac{5}{12}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

خطوة 1.7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

خطوة 1.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

خطوة 1.7.3

اطرح $5$ من $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

خطوة 2

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة $(p, q, r)$ والعمودي على المستوى $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ والمستوى $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى $P_{1}$ والمستوى $P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى $P_{2}$ ، مثل $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ $t$ .

4. باستخدام قيمة $t$ ، أوجِد قيمة $t$ في المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ لإيجاد التقاطع $(x, y, z)$ .

خطوة 3

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

$P_{1}$ هو $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . أوجِد المتجه العادي $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

خطوة 3.2

$P_{2}$ هو $2 x - y = 12$ . أوجِد المتجه العادي $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

خطوة 3.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ $n_{1}$ و $n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم $x$ و $y$ و $z$ المقابلة في المتجهات العادية.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

خطوة 3.4.3

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

خطوة 3.4.4

لكتابة $- \frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

خطوة 3.4.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

خطوة 3.4.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

خطوة 3.4.5.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

خطوة 3.4.5.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

خطوة 3.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

خطوة 3.4.7

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

خطوة 3.4.8

أضف $\frac{1}{6}$ و $0$ .

$\frac{1}{6}$

خطوة 4

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل $(0, 0, 0)$ للنقطة $(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي $\frac{1}{6}$ للقيم $a$ و $b$ و $c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 5

استبدِل العبارة بـ $x$ و $y$ و $z$ وعوّض بقيمها في المعادلة $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

خطوة 6

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أضف $0$ و $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

خطوة 6.1.1.2

أضف $0$ و $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

خطوة 6.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

خطوة 6.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

خطوة 6.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

خطوة 6.1.2.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

خطوة 6.1.3

لكتابة $\frac{t}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

خطوة 6.1.4

لكتابة $- \frac{t}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

خطوة 6.1.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1

اضرب $\frac{t}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

خطوة 6.1.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

خطوة 6.1.5.3

اضرب $\frac{t}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

خطوة 6.1.5.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

خطوة 6.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

خطوة 6.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.7.1

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.7.1.1

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

خطوة 6.1.7.1.2

أخرِج العامل $t$ من $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

خطوة 6.1.7.1.3

أخرِج العامل $t$ من $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

خطوة 6.1.7.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

خطوة 6.1.7.3

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

خطوة 6.1.8

اضرب $t$ في $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

خطوة 6.2

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

خطوة 6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

خطوة 6.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$t = 6 \cdot 12$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $6$ في $12$ .

$t = 72$

خطوة 7

أوجِد قيم $x$ و $y$ و $z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

خطوة 7.1.2

احذِف الأقواس.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

خطوة 7.1.3

بسّط $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

خطوة 7.1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

خطوة 7.1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = 0 + 18$

خطوة 7.1.3.2

أضف $0$ و $18$ .

$x = 18$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

خطوة 7.2.3

بسّط $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

خطوة 7.2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

خطوة 7.2.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 0 + 24$

خطوة 7.2.3.2

أضف $0$ و $24$ .

$y = 24$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

خطوة 7.3.2

بسّط $0 + 0 \cdot (72)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $0$ في $72$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 7.3.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$z = 0$

خطوة 7.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم $x$ و $y$ و $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

خطوة 8

باستخدام القيم المحسوبة لـ $x$ و $y$ و $z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$