الجبر الأمثلة

$\ln^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) (\frac{1}{x})$

خطوة 1.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{x} \cdot \ln (x)$

خطوة 1.3.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

خطوة 1.4

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f' (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x^{2})$ و $g (x) = x$ .

$f'' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.4.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.4.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$