الجبر الأمثلة

$y = 3 x e^{- k x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (3 x e^{- k x})$

خطوة 2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $k$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، إذن مشتق $3 x e^{- k x}$ بالنسبة إلى $k$ يساوي $3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ هو $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ حيث $f (k) = x$ و $g (k) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d k} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ هو $f' (g (k)) g' (k)$ حيث $f (k) = e^{k}$ و $g (k) = - k x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، إذن مشتق $- k x$ بالنسبة إلى $k$ يساوي $- \frac{d}{d k} [k x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- \frac{d}{d k} [k x])) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ هو $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ حيث $f (k) = k$ و $g (k) = x$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k \frac{d}{d k} [x] + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d k} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ هو $n k^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \cdot 1))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.8

اضرب $x$ في $1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d k} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} x')$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x') - x)) + e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')) + e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x'))) + x (e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 (x (e^{- k x} (k x'))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x^{1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1 + 1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- k x}$ بالصيغة $- e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

خطوة 3.10.5.8

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 e^{- k x} x'$

خطوة 3.10.6

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$0 = - 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$ .

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x x' e^{- k x} - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 0$

خطوة 5.3

أضف $3 x^{2} e^{- k x}$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $3 x' e^{- k x}$ من $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $3 x' e^{- k x}$ من $- 3 k x x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $3 x' e^{- k x}$ من $3 x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 3 x^{2} e^{- k x}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $3 x' e^{- k x}$ من $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ على $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ على $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- k x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $- k x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.2.3.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- k x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

خطوة 5.5.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{x^{2}}{- k x + 1}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- k x$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) + 1}$

خطوة 5.5.3.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) - 1 (- 1)}$

خطوة 5.5.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (k x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x - 1)}$

خطوة 5.5.3.6

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.6.1

أعِد كتابة $- (k x - 1)$ بالصيغة $- 1 (k x - 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- 1 (k x - 1)}$

خطوة 5.5.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d k}$ .

$\frac{d x}{d k} = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$