الجبر الأمثلة

$f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 9$ و $g (x) = 81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [81 - x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $81 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $81$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 1.1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- (2 x)) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 1.1.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 1.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.1.2.9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + 0)$

خطوة 1.1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x)$

خطوة 1.1.2.10.2

انقُل $2$ إلى يسار $81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + 2 \cdot (81 - x^{2}) x$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 (81 - x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + (2 \cdot 81 + 2 (- x^{2})) x$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.1

انقُل $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4.3

اضرب $- 2$ في $9$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4.4

اضرب $2$ في $81$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x + 2 (- x^{2}) x$

خطوة 1.1.3.4.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{2} x$

خطوة 1.1.3.4.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 (x^{1} x^{2})$

خطوة 1.1.3.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{1 + 2}$

خطوة 1.1.3.4.8

أضف $1$ و $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{3}$

خطوة 1.1.3.4.9

أضف $- 18 x$ و $162 x$ .

$- 2 x^{3} + 144 x - 2 x^{3}$

خطوة 1.1.3.4.10

اطرح $2 x^{3}$ من $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 144 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{3} + 144 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [144 x]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [144 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [144 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $144 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 144 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 144 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $144$ في $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 12 x^{2} + 144$ .

$- 12 x^{2} + 144$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 12 x^{2} + 144 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 12 x^{2} + 144 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $144$ من كلا المتعادلين.

$- 12 x^{2} = - 144$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 12 x^{2} = - 144$ على $- 12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 12 x^{2} = - 144$ على $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 12}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $- 144$ على $- 12$ .

$x^{2} = 12$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{12}$

خطوة 2.5

بسّط $\pm \sqrt{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

خطوة 2.5.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

خطوة 2.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2 \sqrt{3}$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2 \sqrt{3}$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $2 \sqrt{3}$ في $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2 \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (2 \sqrt{3}) = ({(2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $4$ في $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.2

أضف $12$ و $9$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.1.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

خطوة 3.1.2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

خطوة 3.1.2.3.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

خطوة 3.1.2.3.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

خطوة 3.1.2.3.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

خطوة 3.1.2.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

خطوة 3.1.2.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

خطوة 3.1.2.3.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

خطوة 3.1.2.3.4

اضرب $- (4 \cdot 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.4.1

اضرب $4$ في $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

خطوة 3.1.2.3.4.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

خطوة 3.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

اطرح $12$ من $81$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

خطوة 3.1.2.4.2

اضرب $21$ في $69$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 1449$

خطوة 3.1.2.5

الإجابة النهائية هي $1449$ .

$1449$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2 \sqrt{3}$ في $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ هي $(2 \sqrt{3}, 1449)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2 \sqrt{3}, 1449)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 2 \sqrt{3}$ في $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2 \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $4$ في $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.2

أضف $12$ و $9$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

خطوة 3.3.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

خطوة 3.3.2.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

خطوة 3.3.2.3.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

خطوة 3.3.2.3.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

خطوة 3.3.2.3.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

خطوة 3.3.2.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

خطوة 3.3.2.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

خطوة 3.3.2.3.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

خطوة 3.3.2.3.4

اضرب $- (4 \cdot 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.4.1

اضرب $4$ في $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

خطوة 3.3.2.3.4.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

خطوة 3.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اطرح $12$ من $81$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

خطوة 3.3.2.4.2

اضرب $21$ في $69$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 1449$

خطوة 3.3.2.5

الإجابة النهائية هي $1449$ .

$1449$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2 \sqrt{3}$ في $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ هي $(- 2 \sqrt{3}, 1449)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2 \sqrt{3}, 1449)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(2 \sqrt{3}, 1449), (- 2 \sqrt{3}, 1449)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.56410161$ في العبارة.

$f'' (- 3.56410161) = - 12 {(- 3.56410161)}^{2} + 144$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3.56410161$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 12$ في $12.70282032$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

خطوة 5.2.2

أضف $- 152.43384387$ و $144$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 8.43384387$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 3.56410161$ يساوي $- 8.43384387$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 144$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 144$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 12$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 144$

خطوة 6.2.2

أضف $0$ و $144$ .

$f'' (0) = 144$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $144$ .

$144$

خطوة 6.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $144$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ .

تزايد خلال $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2 \sqrt{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.56410161$ في العبارة.

$f'' (3.56410161) = - 12 {(3.56410161)}^{2} + 144$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3.56410161$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 12$ في $12.70282032$ .

$f'' (3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

خطوة 7.2.2

أضف $- 152.43384387$ و $144$ .

$f'' (3.56410161) = - 8.43384387$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $3.56410161$ يساوي $- 8.43384387$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(2 \sqrt{3}, \infty)$

تناقص خلال $(2 \sqrt{3}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$ .

$(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$

خطوة 9