الجبر الأمثلة

${(5 + 5 i)}^{4}$

خطوة 1

استخدِم نظرية التوسيع ذي الحدين لإيجاد كل حد. تنص نظرية ذي الحدين على أن ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5)}^{4 - k} \cdot {(5 i)}^{k}$

خطوة 2

وسّع المجموع.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5)}^{4 - 0} \cdot {(5 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5)}^{4 - 1} \cdot {(5 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5)}^{4 - 2} \cdot {(5 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5)}^{4 - 3} \cdot {(5 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5)}^{4 - 4} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 3

بسّط الأُسس لكل حد من حدود التوسيع.

$1 \cdot {(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4

بسّط نتيجة متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب ${(5)}^{4}$ في $1$ .

${(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$625 \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $5 i$ .

$625 \cdot (5^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$625 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.5

اضرب $i^{0}$ في $1$ .

$625 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$625 \cdot 1 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.7

اضرب $625$ في $1$ .

$625 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.8

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$625 + 4 \cdot 125 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.9

اضرب $4$ في $125$ .

$625 + 500 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.10

بسّط.

$625 + 500 \cdot (5 i) + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.11

اضرب $5$ في $500$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.12

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot 25 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.13

اضرب $6$ في $25$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.14

طبّق قاعدة الضرب على $5 i$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (5^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.15

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.16

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 \cdot - 1) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.17

اضرب $150 (25 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.17.1

اضرب $25$ في $- 1$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot - 25 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.17.2

اضرب $150$ في $- 25$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.18

احسِب قيمة الأُس.

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot 5 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.19

اضرب $4$ في $5$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.20

طبّق قاعدة الضرب على $5 i$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (5^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.21

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.22

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.23

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.24

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.25

اضرب $- 1$ في $125$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (- 125 i) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.26

اضرب $- 125$ في $20$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.27

اضرب ${(5)}^{0}$ في $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.28

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.29

اضرب ${(5 i)}^{4}$ في $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5 i)}^{4}$

خطوة 4.1.30

طبّق قاعدة الضرب على $5 i$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 5^{4} i^{4}$

خطوة 4.1.31

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 i^{4}$

خطوة 4.1.32

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.32.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(i^{2})}^{2}$

خطوة 4.1.32.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.1.32.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 \cdot 1$

خطوة 4.1.33

اضرب $625$ في $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625$

خطوة 4.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $3750$ من $625$ .

$- 3125 + 2500 i - 2500 i + 625$

خطوة 4.2.2

أضف $- 3125$ و $625$ .

$- 2500 + 2500 i - 2500 i$

خطوة 4.2.3

اطرح $2500 i$ من $2500 i$ .

$- 2500 + 0$

خطوة 4.2.4

أضف $- 2500$ و $0$ .

$- 2500$