الجبر الأمثلة

$y = \ln (\frac{x^{4}}{x + 3})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x^{4}}{x + 3}))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x^{4}}{x + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{4}}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

خطوة 3.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{x + 3}{x^{4}}$ في $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

انقُل $4$ إلى يسار $x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 \cdot (x + 3) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.6.3

اضرب $\frac{x + 3}{x^{4}}$ في $\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{x^{4} {(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x + 3$ من $x^{4} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 x + 4 \cdot 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.4.1.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.4.1.1.3

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.4.1.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.4.2

اطرح $x^{4}$ من $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.5.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.5.1.2

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.5.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 3.7.6

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $3 x^{4} + 12 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.6.1

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 3.7.6.2

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 3.7.6.3

أخرِج العامل $3 x^{3}$ من $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

خطوة 3.7.7

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5} + 3 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.7.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

خطوة 3.7.7.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

خطوة 3.7.7.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 3.7.8

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.8.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $3 x^{3} (x + 4)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{4} (x + 3)}$

خطوة 3.7.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.8.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

خطوة 3.7.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

خطوة 3.7.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$