الجبر الأمثلة

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d y} (x + x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$e^{y} (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$e^{y} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) e^{y}$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + x y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$x' + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x' + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x' + x \cdot 1 + y x'$

خطوة 3.3.4

اضرب $x$ في $1$ .

$x' + x + y x'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y x' + x + x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$ .

$x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

خطوة 5.2

بما أن $x'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$y x' + x + x' = x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x)$

خطوة 5.3

اطرح $x' e^{y} \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$y x' + x + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x)$

خطوة 5.4

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y x' + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $x'$ من $y x' + x' - x' e^{y} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $x'$ من $y x'$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.5.2

ارفع $x'$ إلى القوة $1$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $x'$ من ${x'}^{1}$ .

$x' y + x' \cdot 1 - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.5.4

أخرِج العامل $x'$ من $- x' e^{y} \cos (x)$ .

$x' (y) + x' \cdot 1 + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.5.5

أخرِج العامل $x'$ من $x' y + x' \cdot 1$ .

$x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.5.6

أخرِج العامل $x'$ من $x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x))$ .

$x' (y + 1 - 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $- 1 e^{y}$ بالصيغة $- e^{y}$ .

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

خطوة 5.7

اقسِم كل حد في $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ على $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اقسِم كل حد في $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ على $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

خطوة 5.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

خطوة 5.7.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

خطوة 5.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} - \frac{x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

خطوة 5.7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$