الجبر الأمثلة

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 x^{4} + 4}$ في صورة ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (16^{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $16$ إلى القوة $4$ .

$\frac{d}{d y} [65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2

بما أن $65536$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $65536 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$65536 \frac{d}{d y} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ و $g (y) = 4 x^{4} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x^{4} + 4$ .

$65536 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x^{4} + 4$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$65536 (\frac{1}{2} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$65536 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.9

انقُل ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$65536 (\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4])$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ و $65536$ .

$\frac{65536}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

خطوة 4.11

أخرِج العامل $2$ من $65536$ .

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

خطوة 4.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 32768}{2 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

خطوة 4.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 32768}{2 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

خطوة 4.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [4 x^{4} + 4]$

خطوة 4.13

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{4} + 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [4 x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

خطوة 4.13.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 x^{4}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 \frac{d}{d y} [x^{4}]$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [4])$

خطوة 4.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{4}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

خطوة 4.14.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

خطوة 4.14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

خطوة 4.15

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 (x^{3} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [4])$

خطوة 4.16

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [4])$

خطوة 4.17

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x' + 0)$

خطوة 4.18

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1

أضف $16 x^{3} x'$ و $0$ .

$\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (16 x^{3} x')$

خطوة 4.18.2

اجمع $16$ و $\frac{32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{16 \cdot 32768}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

خطوة 4.18.3

اضرب $16$ في $32768$ .

$\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (x^{3} x')$

خطوة 4.18.4

اجمع $x^{3}$ و $\frac{524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x'$

خطوة 4.18.5

اجمع $\frac{x^{3} \cdot 524288}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x'$ .

$\frac{x^{3} \cdot 524288 x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.18.6

انقُل $524288$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{524288 x^{3} x'}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$524288 x^{3} x' = 1 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.4

اقسِم كل حد في $524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ على $524288 x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اقسِم كل حد في $524288 x^{3} x' = {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ على $524288 x^{3}$ .

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $524288$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{524288 x^{3} x'}{524288 x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

خطوة 6.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

خطوة 6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

خطوة 6.4.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$

خطوة 7

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{524288 x^{3}}$