الجبر الأمثلة

$\ln (x + 2 y) = x^{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (x + 2 y)) = \frac{d}{d x} (x^{4})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2 y$ .

$\frac{1}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$ .

$(1 + 2 y') \frac{1}{x + 2 y}$

خطوة 2.4.2

اضرب $1 + 2 y'$ في $\frac{1}{x + 2 y}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} = 4 x^{3}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $x + 2 y$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

خطوة 5.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 2 y' = 4 x^{3} (x + 2 y)$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد ترتيب $1$ و $2 y'$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{3} (x + 2 y)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $4 x^{3} (x + 2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y' + 1 = 4 x^{3} x + 4 x^{3} (2 y)$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$2 y' + 1 = 4 (x \cdot x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 y' + 1 = 4 (x^{1} x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

خطوة 5.2.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 y' + 1 = 4 x^{1 + 3} + 4 x^{3} (2 y)$

خطوة 5.2.2.1.2.3

أضف $1$ و $3$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} (2 y)$

خطوة 5.2.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y$

خطوة 5.2.2.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 8 x^{3} y$

خطوة 5.2.2.1.5

أعِد ترتيب $4 x^{4}$ و $8 x^{3} y$ .

$2 y' + 1 = 8 x^{3} y + 4 x^{4}$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$

خطوة 5.3.2

اقسِم كل حد في $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ على $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x^{3} y$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 (1)} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 \cdot 1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{4 x^{3} y}{1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.1.2.4

اقسِم $4 x^{3} y$ على $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{4}$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.2.2.4

اقسِم $2 x^{4}$ على $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.2.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$