الجبر الأمثلة

$x = y^{2} - 5 y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} - 5 y = x$ .

$y^{2} - 5 y = x$

خطوة 2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - 5 y - x = 0$

خطوة 3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 5$ و $c = - x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

خطوة 6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

خطوة 6.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

خطوة 7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

خطوة 7.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

خطوة 9

بدّل بين المتغيرات. وأنشئ معادلة لكل عبارة.

$x = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2}, x = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 y}}{2}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$

خطوة 10.2

اضرب كلا الطرفين في $2$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

بسّط $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

خطوة 10.3.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 + \sqrt{25 + 4 y} = x \cdot 2$

خطوة 10.3.1.1.2

أعِد ترتيب $25$ و $4 y$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = x \cdot 2$

خطوة 10.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = 2 x$

خطوة 10.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{4 y + 25} = 2 x - 5$

خطوة 10.4.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{4 y + 25}}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

خطوة 10.4.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 y + 25}$ في صورة ${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

خطوة 10.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.2.1

بسّط ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

خطوة 10.4.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

خطوة 10.4.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(4 y + 25)}^{1} = {(2 x - 5)}^{2}$

خطوة 10.4.3.2.1.2

بسّط.

$4 y + 25 = {(2 x - 5)}^{2}$

خطوة 10.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.3.1

بسّط ${(2 x - 5)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.3.1.1

أعِد كتابة ${(2 x - 5)}^{2}$ بالصيغة $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$4 y + 25 = (2 x - 5) (2 x - 5)$

خطوة 10.4.3.3.1.2

وسّع $(2 x - 5) (2 x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y + 25 = 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)$

خطوة 10.4.3.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)$

خطوة 10.4.3.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

خطوة 10.4.3.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.4

اضرب $- 5$ في $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.5

اضرب $2$ في $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5$

خطوة 10.4.3.3.1.3.1.6

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

خطوة 10.4.3.3.1.3.2

اطرح $10 x$ من $- 10 x$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 20 x + 25$

خطوة 10.4.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.1.1

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$

خطوة 10.4.4.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.1.2.1

اطرح $25$ من $25$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 0$

خطوة 10.4.4.1.2.2

أضف $4 x^{2} - 20 x$ و $0$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x$

خطوة 10.4.4.2

اقسِم كل حد في $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.1

اقسِم كل حد في $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ على $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

خطوة 10.4.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

خطوة 10.4.4.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

خطوة 10.4.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

خطوة 10.4.4.2.3.1.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 20 x}{4}$

خطوة 10.4.4.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 20$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 20 x$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4}$

خطوة 10.4.4.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 (1)}$

خطوة 10.4.4.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 \cdot 1}$

خطوة 10.4.4.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = x^{2} + \frac{- 5 x}{1}$

خطوة 10.4.4.2.3.1.2.2.4

اقسِم $- 5 x$ على $1$ .

$y = x^{2} - 5 x$

خطوة 11

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

خطوة 12

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ هي معكوس $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ و $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ وقارن بينهما.

خطوة 12.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أوجِد مدى $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[\frac{5}{2}, \infty)$

خطوة 12.2.2

أوجِد مدى $\frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \frac{5}{2}]$

خطوة 12.2.3

أوجِد اتحاد $[\frac{5}{2}, \infty), (- \infty, \frac{5}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

يتكون الاتحاد من جميع العناصر الموجودة في كل فترة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 12.3

أوجِد نطاق $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{25 + 4 x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$25 + 4 x \geq 0$

خطوة 12.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

اطرح $25$ من كلا طرفي المتباينة.

$4 x \geq - 25$

خطوة 12.3.2.2

اقسِم كل حد في $4 x \geq - 25$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x \geq - 25$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

خطوة 12.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

خطوة 12.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{- 25}{4}$

خطوة 12.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x \geq - \frac{25}{4}$

خطوة 12.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- \frac{25}{4}, \infty)$

خطوة 12.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ هو مدى $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ ومدى $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ هو نطاق $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ هي معكوس $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

خطوة 13