الجبر الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{x^{4}} - 7$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{y^{4}} - 7$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$ .

$\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$

خطوة 3.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$

خطوة 3.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y^{4}, 1, 1$

خطوة 3.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y^{4}$

خطوة 3.4

اضرب كل حد في $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ في $y^{4}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ في $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

خطوة 3.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = x y^{4} + 7 y^{4}$

خطوة 3.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x y^{4} + 7 y^{4} = 1$ .

$x y^{4} + 7 y^{4} = 1$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y^{4}$ من $x y^{4} + 7 y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $y^{4}$ من $x y^{4}$ .

$y^{4} x + 7 y^{4} = 1$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $y^{4}$ من $7 y^{4}$ .

$y^{4} x + y^{4} \cdot 7 = 1$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $y^{4}$ من $y^{4} x + y^{4} \cdot 7$ .

$y^{4} (x + 7) = 1$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $y^{4} (x + 7) = 1$ على $x + 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $y^{4} (x + 7) = 1$ على $x + 7$ .

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم $y^{4}$ على $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{x + 7}$

خطوة 3.5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$

خطوة 3.5.5

بسّط $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

أعِد كتابة $\sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$

خطوة 3.5.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$

خطوة 3.5.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ في $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

خطوة 3.5.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ في $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{\sqrt[4]{x + 7} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

خطوة 3.5.5.4.2

ارفع $\sqrt[4]{x + 7}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

خطوة 3.5.5.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1 + 3}}$

خطوة 3.5.5.4.4

أضف $1$ و $3$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{4}}$

خطوة 3.5.5.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[4]{x + 7}}^{4}$ بالصيغة $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{x + 7}$ في صورة ${(x + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{({(x + 7)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

خطوة 3.5.5.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

خطوة 3.5.5.4.5.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $4$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

خطوة 3.5.5.4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

خطوة 3.5.5.4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{1}}$

خطوة 3.5.5.4.5.5

بسّط.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{x + 7}$

خطوة 3.5.5.5

أعِد كتابة ${\sqrt[4]{x + 7}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

خطوة 3.5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

خطوة 3.5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

خطوة 3.5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ و $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- 7, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

${(x + 7)}^{3} \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[3]{{(x + 7)}^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 5.3.2.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x + 7 \geq 0$

خطوة 5.3.2.3

اطرح $7$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \geq - 7$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x + 7 = 0$

خطوة 5.3.4

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$x = - 7$

خطوة 5.3.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- 7, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x^{4}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{4} = 0$

خطوة 5.4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt[4]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

خطوة 5.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 5.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.4.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5.5

أوجِد مدى المعكوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أوجِد مدى $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(1, \infty)$

خطوة 5.5.2

أوجِد مدى $- \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 1)$

خطوة 5.5.3

أوجِد اتحاد $(1, \infty), (- \infty, - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

يتكون الاتحاد من جميع العناصر الموجودة في كل فترة.

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5.6

بما أن مدى $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ لا يساوي نطاق $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ ليست معكوس $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6