الجبر الأمثلة

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

خطوة 2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

خطوة 2.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وسّع $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $\frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ بالصيغة $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 2.3.3

وسّع $\ln (5^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 2.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 2.4.1.2

اضرب $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.2.1

اجمع $y$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 2.4.1.2.2

اجمع $\frac{y}{2}$ و $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 2.4.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

خطوة 2.5

اضرب كل حد في $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب كل حد في $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ في $2$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

خطوة 2.5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

خطوة 2.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (2)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

خطوة 2.5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

خطوة 2.5.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

خطوة 2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

خطوة 2.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

خطوة 2.7

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أضف $\ln (2)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

خطوة 2.7.2

أضف $2 \ln (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

خطوة 2.8

اقسِم كل حد في $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ على $\ln (5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اقسِم كل حد في $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ على $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 2.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 2.8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5^{x}}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.2

اضرب الأُسس في ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.2.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.3

بسّط $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.5

اضرب الأُسس في ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.6.1

اضرب الأُسس في ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.6.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.6.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.6.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.6.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.4.6.2

احسِب قيمة الأُس.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.7

وسّع $\ln (5^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 4.2.8.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.3

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.4.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.4.3

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.4.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.5

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.5.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.5.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 4.3.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$