الجبر الأمثلة

$y = {(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})$ بنقل $- \sin (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} - 2 x)] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 3 x^{4} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 5.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3 x^{4} - 2 x}$ و $\sin (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6.5

اضرب $4$ في $3$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \cdot 1) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 6.8

اضرب $- 2$ في $1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 7

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2)) - (\ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

خطوة 8.2

احذِف الأقواس.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) - \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x))$