الجبر الأمثلة

${(5 x)}^{3 \cos (2 x)}$

خطوة 1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الضرب على $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5^{3 \cos (2 x)}$ و $g (x) = x^{3 \cos (2 x)}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [x^{3 \cos (2 x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 3

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $x^{3 \cos (2 x)}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 3.2

وسّع $\ln (x^{3 \cos (2 x)})$ بنقل $3 \cos (2 x)$ خارج اللوغاريتم.

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (2 x) \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 5.2

انقُل $3$ إلى يسار $5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$3 \cdot (5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}) \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (2 x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 7

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 8

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 9.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 10

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 10.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 10.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = 5^{x}$ و $g (x) = 3 \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{3}} [5^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

خطوة 11.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $5$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{u_{3}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

خطوة 11.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

خطوة 12.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 \cdot (x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 13.2

مشتق $\cos (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $- \sin (u_{4})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 13.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 14

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 14.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 14.5

اضرب $- 6$ في $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

خطوة 15.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $3$ و $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{3 \cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

خطوة 15.2.2

اجمع $\frac{3 \cos (2 x)}{x}$ و $5^{3 \cos (2 x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

خطوة 15.2.3

اجمع $\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x}$ و $e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

خطوة 15.2.4

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) \sin (2 x) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

خطوة 15.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)} \sin (2 x) \ln (5) + \frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x}$