الجبر الأمثلة

$2 y = x^{2} + 2 x$ , $y = 4 x - 23$

خطوة 1

أوجِد كل معادلة سطح مستوٍ بالصيغة القياسية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 y - x^{2} = 2 x, y = 4 x - 23$

خطوة 1.1.2

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y = 4 x - 23$

خطوة 1.2

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y - 4 x = - 23$

خطوة 2

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة $(p, q, r)$ والعمودي على المستوى $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ والمستوى $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى $P_{1}$ والمستوى $P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى $P_{2}$ ، مثل $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ $t$ .

4. باستخدام قيمة $t$ ، أوجِد قيمة $t$ في المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ لإيجاد التقاطع $(x, y, z)$ .

خطوة 3

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

$P_{1}$ هو $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ . أوجِد المتجه العادي $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 2, 2, 0 ⟩$

خطوة 3.2

$P_{2}$ هو $y - 4 x = - 23$ . أوجِد المتجه العادي $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ - 4, 1, 0 ⟩$

خطوة 3.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ $n_{1}$ و $n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم $x$ و $y$ و $z$ المقابلة في المتجهات العادية.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احذِف الأقواس.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$8 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$8 + 2 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$8 + 2 + 0$

خطوة 3.4.3

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أضف $8$ و $2$ .

$10 + 0$

خطوة 3.4.3.2

أضف $10$ و $0$ .

$10$

خطوة 4

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل $(0, 0, 0)$ للنقطة $(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي $10$ للقيم $a$ و $b$ و $c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على $P_{1}$ $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ .

$x = 0 + - 2 \cdot t$

$y = 0 + 2 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 5

استبدِل العبارة بـ $x$ و $y$ و $z$ وعوّض بقيمها في المعادلة $P_{2}$ $y - 4 x = - 23$ .

$(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

خطوة 6

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أضف $0$ و $2 \cdot t$ .

$2 \cdot t - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

خطوة 6.1.1.2

اطرح $2 \cdot t$ من $0$ .

$2 \cdot t - 4 (- 2 \cdot t) = - 23$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$2 t + 8 t = - 23$

خطوة 6.1.3

أضف $2 t$ و $8 t$ .

$10 t = - 23$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $10 t = - 23$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $10 t = - 23$ على $10$ .

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- 23}{10}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{23}{10}$

خطوة 7

أوجِد قيم $x$ و $y$ و $z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احذِف الأقواس.

$x = 0 - 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

خطوة 7.1.2

احذِف الأقواس.

$x = 0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

خطوة 7.1.3

بسّط $0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{23}{10}$ إلى بسط الكسر.

$x = 0 - 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

خطوة 7.1.3.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$x = 0 + 2 (- 1) \cdot \frac{- 23}{10}$

خطوة 7.1.3.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

خطوة 7.1.3.1.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

خطوة 7.1.3.1.1.5

أعِد كتابة العبارة.

$x = 0 - 1 \cdot \frac{- 23}{5}$

خطوة 7.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = 0 - 1 \cdot (- \frac{23}{5})$

خطوة 7.1.3.1.3

اضرب $- 1 (- \frac{23}{5})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = 0 + 1 (\frac{23}{5})$

خطوة 7.1.3.1.3.2

اضرب $\frac{23}{5}$ في $1$ .

$x = 0 + \frac{23}{5}$

خطوة 7.1.3.2

أضف $0$ و $\frac{23}{5}$ .

$x = \frac{23}{5}$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0 + 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

خطوة 7.2.3

بسّط $0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{23}{10}$ إلى بسط الكسر.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

خطوة 7.2.3.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 (5)}$

خطوة 7.2.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

خطوة 7.2.3.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = 0 + \frac{- 23}{5}$

خطوة 7.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = 0 - \frac{23}{5}$

خطوة 7.2.3.2

اطرح $\frac{23}{5}$ من $0$ .

$y = - \frac{23}{5}$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

خطوة 7.3.2

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$

خطوة 7.3.3

بسّط $0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $0 (- \frac{23}{10})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{23}{10})$

خطوة 7.3.3.1.2

اضرب $0$ في $\frac{23}{10}$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 7.3.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$z = 0$

خطوة 7.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم $x$ و $y$ و $z$ .

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

خطوة 8

باستخدام القيم المحسوبة لـ $x$ و $y$ و $z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي $(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$ .

$(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$