الجبر الأمثلة

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

خطوة 1

أوجِد كل معادلة سطح مستوٍ بالصيغة القياسية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

خطوة 1.1.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

خطوة 1.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

خطوة 1.3

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

خطوة 1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $y$ و $\frac{8}{3}$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

خطوة 1.4.2

انقُل $8$ إلى يسار $y$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

خطوة 1.5

اطرح $4$ من $9$ .

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

خطوة 2

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة $(p, q, r)$ والعمودي على المستوى $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ والمستوى $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى $P_{1}$ والمستوى $P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى $P_{2}$ ، مثل $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ $t$ .

4. باستخدام قيمة $t$ ، أوجِد قيمة $t$ في المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ لإيجاد التقاطع $(x, y, z)$ .

خطوة 3

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

$P_{1}$ هو $- y - x = 5$ . أوجِد المتجه العادي $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

خطوة 3.2

$P_{2}$ هو $x - \frac{8 y}{3} = 0$ . أوجِد المتجه العادي $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

خطوة 3.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ $n_{1}$ و $n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم $x$ و $y$ و $z$ المقابلة في المتجهات العادية.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احذِف الأقواس.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 1 (- \frac{8}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.2.2

اضرب $\frac{8}{3}$ في $1$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

خطوة 3.4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

خطوة 3.4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

خطوة 3.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

خطوة 3.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

خطوة 3.4.6.2

أضف $- 3$ و $8$ .

$\frac{5}{3} + 0$

خطوة 3.4.7

أضف $\frac{5}{3}$ و $0$ .

$\frac{5}{3}$

خطوة 4

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل $(0, 0, 0)$ للنقطة $(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي $\frac{5}{3}$ للقيم $a$ و $b$ و $c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على $P_{1}$ $- y - x = 5$ .

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 5

استبدِل العبارة بـ $x$ و $y$ و $z$ وعوّض بقيمها في المعادلة $P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ .

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اطرح $1 \cdot t$ من $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

خطوة 6.1.1.2

اطرح $1 \cdot t$ من $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

خطوة 6.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $- - \frac{8 t}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.2.4.2

اضرب $\frac{8 t}{3}$ في $1$ .

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.3

لكتابة $- t$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

اجمع $- t$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1

أخرِج العامل $t$ من $- t \cdot 3 + 8 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1.1

أخرِج العامل $t$ من $- t \cdot 3$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

خطوة 6.1.5.1.2

أخرِج العامل $t$ من $8 t$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

خطوة 6.1.5.1.3

أخرِج العامل $t$ من $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

خطوة 6.1.5.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

خطوة 6.1.5.3

أضف $- 3$ و $8$ .

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

خطوة 6.1.6

انقُل $5$ إلى يسار $t$ .

$\frac{5 t}{3} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$5 t = 0$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $5 t = 0$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $5 t = 0$ على $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

خطوة 6.3.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{0}{5}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اقسِم $0$ على $5$ .

$t = 0$

خطوة 7

أوجِد قيم $x$ و $y$ و $z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احذِف الأقواس.

$x = 0 - 1 \cdot 0$

خطوة 7.1.2

اطرح $0$ من $0$ .

$x = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

خطوة 7.2.2

اطرح $0$ من $0$ .

$y = 0$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

خطوة 7.3.2

بسّط $0 + 0 \cdot (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $0$ في $0$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 7.3.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$z = 0$

خطوة 7.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم $x$ و $y$ و $z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

خطوة 8

باستخدام القيم المحسوبة لـ $x$ و $y$ و $z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي $(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$