الجبر الأمثلة

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $5 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

خطوة 1.1.2

اطرح $9 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

خطوة 1.1.3

اطرح $10 x$ من كلا المتعادلين.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

خطوة 1.1.4

أضف $54 y$ إلى كلا المتعادلين.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

خطوة 1.1.5

أضف $y$ و $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $- 5 x^{2} - 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 10$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $100$ على $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$e = 0 + 5$

خطوة 1.2.4.2.2

أضف $0$ و $5$ .

$e = 5$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

خطوة 1.3

استبدِل $- 5 x^{2} - 10 x$ بـ $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ في المعادلة $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

خطوة 1.4

انقُل $5$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $5$ إلى كلا الطرفين.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $- 9 y^{2} + 55 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

اضرب $2$ في $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

خطوة 1.5.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{55}{18}$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $55$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- - \frac{3025}{36}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

خطوة 1.5.4.2.1.4.2

اضرب $\frac{3025}{36}$ في $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $0$ و $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

خطوة 1.6

استبدِل $- 9 y^{2} + 55 y$ بـ $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ في المعادلة $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

خطوة 1.7

انقُل $\frac{3025}{36}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{3025}{36}$ إلى كلا الطرفين.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.8

بسّط $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

اكتب $41$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.8.1.2

اضرب $\frac{41}{1}$ في $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.8.1.3

اضرب $\frac{41}{1}$ في $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.8.1.4

اكتب $- 5$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.8.1.5

اضرب $\frac{- 5}{1}$ في $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.8.1.6

اضرب $\frac{- 5}{1}$ في $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

خطوة 1.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

خطوة 1.8.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1

اضرب $41$ في $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

خطوة 1.8.3.2

اضرب $- 5$ في $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

خطوة 1.8.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.1

اطرح $180$ من $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

خطوة 1.8.4.2

اطرح $3025$ من $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

خطوة 1.8.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

خطوة 1.9

اعكس العلامة في كل حد من حدود المعادلة بحيث يصبح الحد الموجود على الجانب الأيمن موجبًا.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

خطوة 1.10

اقسِم كل حد على $\frac{1729}{36}$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

خطوة 1.11

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

خطوة 5