الجبر الأمثلة

$\ln (x^{4} + 27)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{4} + 27)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 2.1.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 2.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 2.1.1.2.3

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

خطوة 2.1.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.4.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

خطوة 2.1.1.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

خطوة 2.1.1.2.4.3

اجمع $\frac{4}{x^{4} + 27}$ و $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.5

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.6.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $x^{3}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4.3

أضف $3$ و $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

اجمع $4$ و $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.4.1.1

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.4.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4.1.1.3

أضف $2$ و $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4.1.3

اضرب $3$ في $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4.1.4

اضرب $81$ في $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4.1.5

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.4.2

اطرح $16 x^{6}$ من $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.3.1.1.2

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

خطوة 2.2.3.1.1.3

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

خطوة 2.2.3.1.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

خطوة 2.2.3.1.3

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x^{2}$ و $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

خطوة 2.2.3.1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.5.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

خطوة 2.2.3.1.5.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.5.1.2.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

خطوة 2.2.3.1.5.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

خطوة 2.2.3.1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

خطوة 2.2.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 2.2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.2.3.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.2.3.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.2.3.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.2.3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.1

عيّن قيمة $x^{2} + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

خطوة 2.2.3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 9$

خطوة 2.2.3.4.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

خطوة 2.2.3.4.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.2.3.1

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

خطوة 2.2.3.4.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (9)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

خطوة 2.2.3.4.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

خطوة 2.2.3.4.2.3.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

خطوة 2.2.3.4.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 3$

خطوة 2.2.3.4.2.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 3 i$

خطوة 2.2.3.4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 3 i$

خطوة 2.2.3.4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 3 i$

خطوة 2.2.3.4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 3 i, - 3 i$

خطوة 2.2.3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 2.2.3.5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 2.2.3.6

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.6.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.2.3.6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.2.3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

خطوة 3

أوجِد نطاق $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x^{4} + 27)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{4} + 27 > 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $27$ من كلا طرفي المتباينة.

$x^{4} > - 27$

خطوة 3.2.2

بما أن الطرف الأيسر به قوة زوجية، إذن هو دائمًا موجب بالنسبة إلى جميع الأعداد الحقيقية.

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 3.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 4$ في $46656$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $324$ في $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.5

أضف $- 186624$ و $11664$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $1296$ و $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $1323$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

خطوة 5.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 174960$ و $1750329$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أخرِج العامل $729$ من $- 174960$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

خطوة 5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $729$ من $1750329$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

خطوة 5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

خطوة 5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 3)$ لأن $f'' (- 6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 3, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 4$ في $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $324$ في $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.5

أضف $- 256$ و $1296$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $16$ و $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $43$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 3, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 3, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 4$ في $64$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $324$ في $4$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.5

أضف $- 256$ و $1296$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $16$ و $27$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $43$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(0, 3)$ لأن $f'' (2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(0, 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

عوّض بأي عدد من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 4$ في $46656$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $324$ في $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.5

أضف $- 186624$ و $11664$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $4$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $1296$ و $27$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $1323$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

خطوة 8.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 174960$ و $1750329$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.1

أخرِج العامل $729$ من $- 174960$ .

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

خطوة 8.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $729$ من $1750329$ .

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

خطوة 8.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

خطوة 8.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

خطوة 8.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

خطوة 8.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(3, \infty)$ لأن $f'' (6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 9

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 3, 0)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأعلى خلال $(0, 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 10