الجبر الأمثلة

$\ln (x^{2} + 9)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{2} + 9)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{2} + 9)$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.1.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.1.1.2.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + 0)$

خطوة 2.1.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x)$

خطوة 2.1.1.2.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} + 9}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 9} x$

خطوة 2.1.1.2.4.3

اجمع $\frac{2}{x^{2} + 9}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} + 9}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 9$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.2

اضرب $x^{2} + 9$ في $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.5

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.9

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.10.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.10.2.2

اضرب $2$ في $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 2 x^{2} + 18 = 0$

خطوة 2.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اطرح $18$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x^{2} = - 18$

خطوة 2.2.3.2

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 18$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 18$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

خطوة 2.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

خطوة 2.2.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

خطوة 2.2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.3.1

اقسِم $- 18$ على $- 2$ .

$x^{2} = 9$

خطوة 2.2.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{9}$

خطوة 2.2.3.4

بسّط $\pm \sqrt{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

خطوة 2.2.3.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 3$

خطوة 2.2.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 3$

خطوة 2.2.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 3$

خطوة 2.2.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 3, - 3$

خطوة 3

أوجِد نطاق $f (x) = \ln (x^{2} + 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x^{2} + 9)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{2} + 9 > 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $9$ من كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} > - 9$

خطوة 3.2.2

بما أن الطرف الأيسر به قوة زوجية، إذن هو دائمًا موجب بالنسبة إلى جميع الأعداد الحقيقية.

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 3.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 2$ في $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.3

أضف $- 72$ و $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $36$ و $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $45$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{2025}$

خطوة 5.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 54$ و $2025$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أخرِج العامل $27$ من $- 54$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

خطوة 5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $27$ من $2025$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

خطوة 5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 6) = \frac{- 2}{75}$

خطوة 5.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 6) = - \frac{2}{75}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - 3)$ لأن $f'' (- 6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- 3, 3)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $0$ و $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0) = \frac{18}{81}$

خطوة 6.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{81}$

خطوة 6.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $9$ من $81$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

خطوة 6.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{2}{9}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- 3, 3)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- 3, 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 18}{{({(6)}^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 2$ في $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

أضف $- 72$ و $18$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $36$ و $9$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $45$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{2025}$

خطوة 7.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 54$ و $2025$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

أخرِج العامل $27$ من $- 54$ .

$f'' (6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

خطوة 7.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $27$ من $2025$ .

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

خطوة 7.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

خطوة 7.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (6) = \frac{- 2}{75}$

خطوة 7.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (6) = - \frac{2}{75}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(3, \infty)$ لأن $f'' (6)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - 3)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- 3, 3)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(3, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 9