الجبر الأمثلة

$\ln (x^{2} + 64)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{2} + 64)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{2} + 64)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 64$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]$

خطوة 2.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 64$ .

$\frac{1}{x^{2} + 64} \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 64$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 64} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 64} (2 x + \frac{d}{d x} [64])$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $64$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 64} (2 x + 0)$

خطوة 2.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 64} (2 x)$

خطوة 2.1.2.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} + 64}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 64} x$

خطوة 2.1.2.4.3

اجمع $\frac{2}{x^{2} + 64}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 64}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} + 64}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 64}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 64}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 64$ .

$2 \frac{(x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 64) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $x^{2} + 64$ في $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64]}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 64$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64])}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + \frac{d}{d x} [64])}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.5

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $64$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - x (2 x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.9

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.2.10.2.2

اضرب $2$ في $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 2 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 2 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 64)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 64)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 2 x^{2} + 128 = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $128$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x^{2} = - 128$

خطوة 3.3.2

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 128$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 128$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 128}{- 2}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 128}{- 2}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 128}{- 2}$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اقسِم $- 128$ على $- 2$ .

$x^{2} = 64$

خطوة 3.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{64}$

خطوة 3.3.4

بسّط $\pm \sqrt{64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 8$

خطوة 3.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 8$

خطوة 3.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 8$

خطوة 3.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 8, - 8$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $8$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 64)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f (8) = \ln ({(8)}^{2} + 64)$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$f (8) = \ln (64 + 64)$

خطوة 4.1.2.2

أضف $64$ و $64$ .

$f (8) = \ln (128)$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (128)$ .

$\ln (128)$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $8$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 64)$ هي $(8, \ln (128))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(8, \ln (128))$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 8$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 64)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8$ في العبارة.

$f (- 8) = \ln ({(- 8)}^{2} + 64)$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$f (- 8) = \ln (64 + 64)$

خطوة 4.3.2.2

أضف $64$ و $64$ .

$f (- 8) = \ln (128)$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (128)$ .

$\ln (128)$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 8$ في $f (x) = \ln (x^{2} + 64)$ هي $(- 8, \ln (128))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 8, \ln (128))$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(8, \ln (128)), (- 8, \ln (128))$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 8)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8.1$ في العبارة.

$f'' (- 8.1) = \frac{- 2 {(- 8.1)}^{2} + 128}{{({(- 8.1)}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 8.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 8.1) = \frac{- 2 \cdot 65.61 + 128}{{({(- 8.1)}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $65.61$ .

$f'' (- 8.1) = \frac{- 131.22 + 128}{{({(- 8.1)}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $- 131.22$ و $128$ .

$f'' (- 8.1) = \frac{- 3.22}{{({(- 8.1)}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 8.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 8.1) = \frac{- 3.22}{{(65.61 + 64)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $65.61$ و $64$ .

$f'' (- 8.1) = \frac{- 3.22}{{129.61}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $129.61$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 8.1) = \frac{- 3.22}{16798.7521}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $- 3.22$ على $16798.7521$ .

$f'' (- 8.1) = - 0.00019168$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00019168$ .

$- 0.00019168$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 8.1$ يساوي $- 0.00019168$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 8)$

تناقص خلال $(- \infty, - 8)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 8, 8)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 128}{{({(0)}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 128}{{(0^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 128}{{(0^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

أضف $0$ و $128$ .

$f'' (0) = \frac{128}{{(0^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{128}{{(0 + 64)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0$ و $64$ .

$f'' (0) = \frac{128}{64^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $64$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0) = \frac{128}{4096}$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $128$ و $4096$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $128$ من $128$ .

$f'' (0) = \frac{128 (1)}{4096}$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $128$ من $4096$ .

$f'' (0) = \frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 32}$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 32}$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{1}{32}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{32}$ .

$\frac{1}{32}$

خطوة 7.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $0.03125$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 8, 8)$ .

تزايد خلال $(- 8, 8)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(8, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8.1$ في العبارة.

$f'' (8.1) = \frac{- 2 {(8.1)}^{2} + 128}{{({(8.1)}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $8.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (8.1) = \frac{- 2 \cdot 65.61 + 128}{{({8.1}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 2$ في $65.61$ .

$f'' (8.1) = \frac{- 131.22 + 128}{{({8.1}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

أضف $- 131.22$ و $128$ .

$f'' (8.1) = \frac{- 3.22}{{({8.1}^{2} + 64)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $8.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (8.1) = \frac{- 3.22}{{(65.61 + 64)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $65.61$ و $64$ .

$f'' (8.1) = \frac{- 3.22}{{129.61}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $129.61$ إلى القوة $2$ .

$f'' (8.1) = \frac{- 3.22}{16798.7521}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $- 3.22$ على $16798.7521$ .

$f'' (8.1) = - 0.00019168$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00019168$ .

$- 0.00019168$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $8.1$ يساوي $- 0.00019168$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(8, \infty)$

تناقص خلال $(8, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 8, \ln (128)), (8, \ln (128))$ .

$(- 8, \ln (128)), (8, \ln (128))$

خطوة 10