الجبر الأمثلة

$z = x^{y} + \ln (x y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

خطوة 2

مشتق $z$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $z'$ .

$z'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{y} + \ln (x y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

خطوة 3.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

خطوة 3.2.5

اجمع $\frac{1}{x y}$ و $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

خطوة 3.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

خطوة 3.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لكتابة $y x^{y - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

خطوة 3.3.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

خطوة 3.3.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

خطوة 3.3.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

خطوة 3.3.1.5

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

خطوة 3.3.1.6

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

خطوة 3.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

خطوة 5

استبدِل $z'$ بـ $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$