الجبر الأمثلة

$z = x^{y} + \ln (x y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

خطوة 2

بما أن $z$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $z$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{y} + \ln (x y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة المعممة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ هو $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ حيث $f = x$ و $g = y$ .

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

خطوة 3.2.4

اضرب $x^{y}$ في $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 3.3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

خطوة 3.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $\frac{1}{x y}$ و $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

خطوة 3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

خطوة 3.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

خطوة 3.4.2.3

اجمع $y$ و $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

خطوة 3.4.2.4

اجمع $\frac{y}{x y}$ و $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

خطوة 3.4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

خطوة 3.4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.6

لكتابة $x' (y x^{y - 1})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.8

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.9

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.11

أضف $1$ و $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.12

لكتابة $x^{y} \ln (x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.14

لكتابة $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

خطوة 3.4.2.15

لكتابة $\frac{x'}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

خطوة 3.4.2.16

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.16.1

اضرب $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

خطوة 3.4.2.16.2

اضرب $\frac{x'}{x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

خطوة 3.4.2.16.3

أعِد ترتيب عوامل $y x$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

خطوة 3.4.2.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

انقُل $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اضرب $x^{y}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.2

اضرب $x$ في $x^{y - 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.2.1

انقُل $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.2.2

اضرب $x^{y - 1}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.2.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.2.3.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.4.2.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ .

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ .

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

خطوة 5.2.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $y x^{y + 1} \ln (x)$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y x'$ من $y^{2} x' x^{y} + y x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $y x'$ من $y^{2} x' x^{y}$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

خطوة 5.2.3.2

أخرِج العامل $y x'$ من $y x'$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

خطوة 5.2.3.3

أخرِج العامل $y x'$ من $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

خطوة 5.2.4

اقسِم كل حد في $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ على $y (y x^{y} + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اقسِم كل حد في $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ على $y (y x^{y} + 1)$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y x^{y} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y x^{y + 1} \ln (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.5.1

أعِد كتابة $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ بالصيغة $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 5.2.4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$