الجبر الأمثلة

$x \sin (x) + y^{2} = 4$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x \sin (x) + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (x) + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 y y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x \cos (x) + 2 y y' + \sin (x)$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x \cos (x) + 2 y y' + \sin (x) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $x \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' + \sin (x) = - x \cos (x)$

خطوة 5.1.2

اطرح $\sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' = - x \cos (x) - \sin (x)$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $2 y y' = - x \cos (x) - \sin (x)$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = - x \cos (x) - \sin (x)$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

خطوة 5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x \cos (x)}{2 y} + \frac{- \sin (x)}{2 y}$

خطوة 5.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x \cos (x)}{2 y} - \frac{\sin (x)}{2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \cos (x)}{2 y} - \frac{\sin (x)}{2 y}$