الجبر الأمثلة

$x^{2} + 77 = {(2 + y^{2})}^{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 77) = \frac{d}{d x} ({(2 + y^{2})}^{4})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 77$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [77]$

خطوة 2.3

بما أن $77$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $77$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\frac{d}{d x} [2^{4} + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 8 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $4$ في $8$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 4 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.5

اضرب $6$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.6

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{2 \cdot 2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.7

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.8

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{2 \cdot 3} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + {(y^{2})}^{4}]$

خطوة 3.2.1.9

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.9.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{2 \cdot 4}]$

خطوة 3.2.1.9.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}]$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.2.3

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.2.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [32 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.2.5

بما أن $32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $32 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $32 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$32 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $32$ .

$64 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$64 y y' + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.6

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$64 y y' + 24 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$64 y y' + 24 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$64 y y' + 24 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$64 y y' + 24 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.8

اضرب $4$ في $24$ .

$64 y y' + 96 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.10

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 y^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 \frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{6}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.11.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.11.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.12

اضرب $6$ في $8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 (y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

خطوة 3.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{8}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.14.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ هو $n {u_{4}}^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 {u_{4}}^{7} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.15

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x = 64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $8 y y'$ من $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $8 y y'$ من $64 y y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $8 y y'$ من $96 y^{3} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $8 y y'$ من $48 y^{5} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y^{7} y' = 2 x$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $8 y y'$ من $8 y^{7} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $8 y y'$ من $8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

خطوة 5.2.6

أخرِج العامل $8 y y'$ من $8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

خطوة 5.2.7

أخرِج العامل $8 y y'$ من $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6}$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ على $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ على $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ .

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$