الجبر الأمثلة

$s = \sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$ في صورة ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (s) = \frac{d}{d x} ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

بما أن $s$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $s$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.6.2.2

انقُل ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

خطوة 4.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 6 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

خطوة 4.6.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

خطوة 4.6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

خطوة 4.6.6

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

خطوة 4.6.7

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 4.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 4.8

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 (y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 4.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$

خطوة 4.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$ .

$(8 x + 12 y y') \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.2

اضرب $8 x + 12 y y'$ في $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.3

أخرِج العامل $2$ من $8 x$ .

$\frac{2 (4 x) + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.4

أخرِج العامل $2$ من $12 y y'$ .

$\frac{2 (4 x) + 2 (6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 x) + 2 (6 y y')$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.10.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.7

أخرِج العامل $2$ من $4 x + 6 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.7.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.7.2

أخرِج العامل $2$ من $6 y y'$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 (3 y y')$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$0 = \frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (2 x + 3 y y') = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $2 (2 x + 3 y y') = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اقسِم كل حد في $2 (2 x + 3 y y') = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.1.2.1.2

اقسِم $2 x + 3 y y'$ على $1$ .

$2 x + 3 y y' = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$2 x + 3 y y' = 0$

خطوة 6.2.2

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$3 y y' = - 2 x$

خطوة 6.2.3

اقسِم كل حد في $3 y y' = - 2 x$ على $3 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم كل حد في $3 y y' = - 2 x$ على $3 y$ .

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

خطوة 6.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

خطوة 6.2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

خطوة 6.2.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y}$

خطوة 6.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x}{3 y}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$