الجبر الأمثلة

$\ln (x^{2} + y^{2}) = x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 2.5.2

اضرب $2 x + 2 y y'$ في $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 2.5.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 2.5.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} = x y' + y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (x + y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 2 (y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.1.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.3.1

انقُل $y$ .

$2 x + 2 y' y = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.1.1.3.2

أعِد ترتيب $2 x$ و $2 y' y$ .

$2 y' y + 2 x = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

وسّع $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y' y + 2 x = x y' (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y (x^{2} + y^{2})$

خطوة 5.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.1.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x^{1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 y' y + 2 x = x^{2 + 1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.1.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.1.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.2.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1} y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1 + 2}$

خطوة 5.2.2.1.2.1.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

خطوة 5.2.2.1.2.2

بسّط بالإبدال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.2.1

أعِد ترتيب $x^{3}$ و $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

خطوة 5.2.2.1.2.2.2

أعِد ترتيب $x$ و $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

خطوة 5.2.2.1.2.2.3

أعِد ترتيب $y$ و $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3}$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} = 2 y' y + 2 x$

خطوة 5.3.2

اطرح $2 y' y$ من كلا المتعادلين.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} - 2 y' y = 2 x$

خطوة 5.3.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اطرح $x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + y^{3} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y$

خطوة 5.3.3.2

اطرح $y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{3}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x) y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

خطوة 5.3.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' x y^{2}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

خطوة 5.3.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' y$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

خطوة 5.3.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{3}) + y' (x y^{2})$ .

$y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

خطوة 5.3.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

خطوة 5.3.5

اقسِم كل حد في $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ على $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

اقسِم كل حد في $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ على $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.5.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

خطوة 5.3.5.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$