الجبر الأمثلة

$x^{3} = - i$

خطوة 1

عوّض بقيمة $x^{3}$ التي تساوي $u$ .

$u^{3} = - i$

خطوة 2

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 3

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 4

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 0$ و $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

خطوة 5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$| z | = 1$

خطوة 6

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

خطوة 7

بما أن المتغير المستقل غير معرّف و $b$ سالبة، إذن زاوية النقطة في المستوى العقدي هي $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 8

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{3 π}{2}$ و $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 9

استبدِل المتعادل الأيمن بالصيغة المثلثية.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 10

استخدِم مبرهنة دي موافر لإيجاد معادلة $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 11

قم بمساواة معامل الصيغة المثلثية ليعادل $r^{3}$ لإيجاد قيمة $r$ .

$r^{3} = 1$

خطوة 12

أوجِد قيمة $r$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$r^{3} - 1 = 0$

خطوة 12.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$r^{3} - 1^{3} = 0$

خطوة 12.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = r$ و $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 12.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

اضرب $r$ في $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

خطوة 12.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

خطوة 12.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

خطوة 12.4

عيّن قيمة العبارة $r - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

عيّن قيمة $r - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r - 1 = 0$

خطوة 12.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$r = 1$

خطوة 12.5

عيّن قيمة العبارة $r^{2} + r + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

عيّن قيمة $r^{2} + r + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

خطوة 12.5.2

أوجِد قيمة $r$ في $r^{2} + r + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 12.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3.1.3

اطرح $4$ من $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.4.1.3

اطرح $4$ من $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.4.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 12.5.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 12.5.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.5.1.3

اطرح $4$ من $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 12.5.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.5.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 12.5.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 12.5.2.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 12.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ صحيحة.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 13

أوجِد القيمة التقريبية لـ $r$ .

$r = 1$

خطوة 14

أوجِد القيم الممكنة لـ $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ و $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

خطوة 15

يؤدي إيجاد جميع القيم الممكنة لـ $θ$ إلى المعادلة $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

خطوة 16

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

خطوة 17

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اضرب $2 π \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$3 θ = 0 π$

خطوة 17.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$3 θ = 0$

خطوة 17.2

اقسِم كل حد في $3 θ = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

اقسِم كل حد في $3 θ = 0$ على $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 17.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 17.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

خطوة 17.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$θ = 0$

خطوة 18

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{3} = - i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

خطوة 19

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

اضرب $\cos (0) + i \sin (0)$ في $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

خطوة 19.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

خطوة 19.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

خطوة 19.2.3

اضرب $i$ في $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

خطوة 19.3

أضف $1$ و $0$ .

$u_{0} = 1$

خطوة 20

استبدِل $u$ بـ $x^{3}$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{0} = 0 + 1$

خطوة 21

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

خطوة 22

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

اضرب $2$ في $1$ .

$3 θ = 2 π$

خطوة 22.2

اقسِم كل حد في $3 θ = 2 π$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

اقسِم كل حد في $3 θ = 2 π$ على $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

خطوة 22.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

خطوة 22.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

خطوة 23

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{3} = - i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

خطوة 24

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

اضرب $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ في $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 24.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 24.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 24.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 24.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 24.2.5

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 25

استبدِل $u$ بـ $x^{3}$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 26

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

خطوة 27

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

اضرب $2$ في $2$ .

$3 θ = 4 π$

خطوة 27.2

اقسِم كل حد في $3 θ = 4 π$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.1

اقسِم كل حد في $3 θ = 4 π$ على $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

خطوة 27.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

خطوة 27.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

خطوة 28

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{3} = - i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

خطوة 29

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1

اضرب $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ في $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 29.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 29.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 29.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 29.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 29.2.5

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 30

استبدِل $u$ بـ $x^{3}$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 31

هذه هي الحلول المركبة لـ $u^{3} = - i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$