الجبر الأمثلة

$\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{6} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (- {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$- \frac{{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{6} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

انقُل ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.3

انقُل ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14.2

اضرب $\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

خطوة 16

اضرب ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 17

لكتابة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 18

اجمع ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

اضرب ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

انقُل ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.4

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

بسّط ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + (x - 1) \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + 2 \cdot (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

اضرب $\frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 23

اضرب $6$ في $2$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

طبّق قاعدة الضرب على $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 24.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{x + 2 x + 2 \cdot - 1}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 24.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{x + 2 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 24.3.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 24.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.4.1

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.4.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

خطوة 24.4.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

خطوة 24.4.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{1})}$

خطوة 24.4.2

بسّط.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x - 1))}$

خطوة 24.4.3

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{1}))}$

خطوة 24.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1})}$

خطوة 24.4.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}$

خطوة 24.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}})}$

خطوة 24.4.7

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$