الجبر الأمثلة

$e^{- 0.002 t^{2}} (\sqrt{t} + t^{4})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}} (t^{\frac{1}{2}} + t^{4})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = e^{- 0.002 t^{2}}$ و $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + t^{4}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + t^{4}] + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{\frac{1}{2}} + t^{4}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 8.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 8.2.2

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - 0.002 t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 0.002 t^{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 0.002 t^{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (e^{- 0.002 t^{2}} \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن $- 0.002$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 0.002 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 0.002 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.002 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

خطوة 10.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.002 (2 t))$

خطوة 10.3

اضرب $2$ في $- 0.002$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}}) (- 0.004 t)$

خطوة 11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اجمع $e^{- 0.002 t^{2}}$ و $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{1} t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{1 + \frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{2 + 1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4.6

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4.7

انقُل $- 0.004$ إلى يسار $t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 \cdot (t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}}) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

خطوة 11.4.8

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{1} t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

خطوة 11.4.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{1 + 4} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

خطوة 11.4.10

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{5} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

خطوة 11.4.11

انقُل $- 0.004$ إلى يسار $t^{5} e^{- 0.002 t^{2}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} - 0.004 t^{5} e^{- 0.002 t^{2}}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$4 e^{- 0.002 t^{2}} t^{3} - 0.004 e^{- 0.002 t^{2}} t^{\frac{3}{2}} - 0.004 e^{- 0.002 t^{2}} t^{5} + \frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$