الجبر الأمثلة

$f (x, y) = 3 x + 2 y$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $f (x, y) - 3 x - 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.2

اضرب $f$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ و $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $d$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $f x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $\frac{1}{x} (f y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $f$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.2.3.2.2

اجمع $\frac{f}{x}$ و $y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 3)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $f (x, y) - 3 x - 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 4.1.2

اضرب $f$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $d$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

خطوة 5.2.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$(\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

خطوة 5.2.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $f x$ .

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

خطوة 5.2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

خطوة 5.2.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$(f, \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $\frac{1}{x} (f y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

اجمع $f$ و $\frac{1}{x}$ .

$(f, \frac{f}{x} y) - 3 = 0$

خطوة 5.2.3.2.2

اجمع $\frac{f}{x}$ و $y$ .

$(f, \frac{f y}{x}) - 3 = 0$

خطوة 5.3

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$(f, \frac{f y}{x}) = 3$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{d}{d x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$d x = 0$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $d x = 0$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $d x = 0$ على $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $d$ على $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $0$ على $x$ .

$d = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $d$ في $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

خطوة 9.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 10

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 11